Ratkaise -5x^2-360x-1980=6300

$$- 5 x ^ { 2 } - 360 x - 1980 = 6300$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-36+6\sqrt{10}i\approx -36+18,973665961i$$

$$x=-6\sqrt{10}i-36\approx -36-18,973665961i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-5x^{2}-360x-1980=6300$$

Vähennä 6300 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-5x^{2}-360x-1980-6300=6300-6300$$

Kun luku 6300 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-5x^{2}-360x-1980-6300=0$$

Vähennä 6300 luvusta -1980.

$$-5x^{2}-360x-8280=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -5, b luvulla -360 ja c luvulla -8280 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-360\right)±\sqrt{\left(-360\right)^{2}-4\left(-5\right)\left(-8280\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Korota -360 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-360\right)±\sqrt{129600-4\left(-5\right)\left(-8280\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Kerro -4 ja -5.

$$x=\frac{-\left(-360\right)±\sqrt{129600+20\left(-8280\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Kerro 20 ja -8280.

$$x=\frac{-\left(-360\right)±\sqrt{129600-165600}}{2\left(-5\right)}$$

Lisää 129600 lukuun -165600.

$$x=\frac{-\left(-360\right)±\sqrt{-36000}}{2\left(-5\right)}$$

Ota luvun -36000 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-360\right)±60\sqrt{10}i}{2\left(-5\right)}$$

Luvun -360 vastaluku on 360.

$$x=\frac{360±60\sqrt{10}i}{2\left(-5\right)}$$

Kerro 2 ja -5.

$$x=\frac{360±60\sqrt{10}i}{-10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{360±60\sqrt{10}i}{-10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 360 lukuun 60i\sqrt{10}.

$$x=\frac{360+60\sqrt{10}i}{-10}$$

Jaa 360+60i\sqrt{10} luvulla -10.

$$x=-6\sqrt{10}i-36$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{360±60\sqrt{10}i}{-10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 60i\sqrt{10} luvusta 360.

$$x=\frac{-60\sqrt{10}i+360}{-10}$$

Jaa 360-60i\sqrt{10} luvulla -10.

$$x=-36+6\sqrt{10}i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-6\sqrt{10}i-36 x=-36+6\sqrt{10}i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}-360x-1980=6300$$

Lisää 1980 yhtälön kummallekin puolelle.

$$-5x^{2}-360x-1980-\left(-1980\right)=6300-\left(-1980\right)$$

Kun luku -1980 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-5x^{2}-360x=6300-\left(-1980\right)$$

Vähennä -1980 luvusta 6300.

$$-5x^{2}-360x=8280$$

Jaa molemmat puolet luvulla -5.

$$\frac{-5x^{2}-360x}{-5}=\frac{8280}{-5}$$

Jakaminen luvulla -5 kumoaa kertomisen luvulla -5.

$$x^{2}+\left(-\frac{360}{-5}\right)x=\frac{8280}{-5}$$

Jaa -360 luvulla -5.

$$x^{2}+72x=\frac{8280}{-5}$$

Jaa 8280 luvulla -5.

$$x^{2}+72x=-1656$$

Jaa 72 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 36. Lisää sitten 36:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+72x+36^{2}=-1656+36^{2}$$

Korota 36 neliöön.

$$x^{2}+72x+1296=-1656+1296$$

Lisää -1656 lukuun 1296.

$$x^{2}+72x+1296=-360$$

Jaa x^{2}+72x+1296 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+36\right)^{2}=-360$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+36\right)^{2}}=\sqrt{-360}$$

Sievennä.

$$x+36=6\sqrt{10}i x+36=-6\sqrt{10}i$$

Vähennä 36 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-36+6\sqrt{10}i x=-6\sqrt{10}i-36$$