Ratkaise -5x^2-2=x^2+2x

$$- 5 x ^ { 2 } - 2 = x ^ { 2 } + 2 x$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{6}\approx -0,166666667+0,552770798i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{6}\approx -0,166666667-0,552770798i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$-5x^{2}-2-x^{2}=2x$$

Selvitä -6x^{2} yhdistämällä -5x^{2} ja -x^{2}.

$$-6x^{2}-2=2x$$

Vähennä 2x molemmilta puolilta.

$$-6x^{2}-2-2x=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-6x^{2}-2x-2=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -6, b luvulla -2 ja c luvulla -2 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-6\right)\left(-2\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Korota -2 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-6\right)\left(-2\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Kerro -4 ja -6.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+24\left(-2\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Kerro 24 ja -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48}}{2\left(-6\right)}$$

Lisää 4 lukuun -48.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-44}}{2\left(-6\right)}$$

Ota luvun -44 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{11}i}{2\left(-6\right)}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{2\left(-6\right)}$$

Kerro 2 ja -6.

$$x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{-12}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{-12}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 2i\sqrt{11}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{11}i}{-12}$$

Jaa 2+2i\sqrt{11} luvulla -12.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{-12}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{11} luvusta 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i+2}{-12}$$

Jaa 2-2i\sqrt{11} luvulla -12.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{6} x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$-5x^{2}-2-x^{2}=2x$$

Selvitä -6x^{2} yhdistämällä -5x^{2} ja -x^{2}.

$$-6x^{2}-2=2x$$

Vähennä 2x molemmilta puolilta.

$$-6x^{2}-2-2x=0$$

Lisää 2 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$-6x^{2}-2x=2$$

Jaa molemmat puolet luvulla -6.

$$\frac{-6x^{2}-2x}{-6}=\frac{2}{-6}$$

Jakaminen luvulla -6 kumoaa kertomisen luvulla -6.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-6}\right)x=\frac{2}{-6}$$

Supista murtoluku \frac{-2}{-6} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{2}{-6}$$

Supista murtoluku \frac{2}{-6} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Jaa \frac{1}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{6}. Lisää sitten \frac{1}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

Lisää -\frac{1}{3} lukuun \frac{1}{36} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{11}{36}$$

Jaa x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{11}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{36}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{11}i}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{11}i}{6}$$

Vähennä \frac{1}{6} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{6} x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{6}$$