Ratkaise -5x^2+9x=-3

$$- 5 x ^ { 2 } + 9 x = - 3$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{141} + 9}{10} \approx 2,087434209$$

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}\approx -0,287434209$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-5x^{2}+9x=-3$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$-5x^{2}+9x-\left(-3\right)=-3-\left(-3\right)$$

Kun luku -3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-5x^{2}+9x-\left(-3\right)=0$$

Vähennä -3 luvusta 0.

$$-5x^{2}+9x+3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -5, b luvulla 9 ja c luvulla 3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-5\right)\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Korota 9 neliöön.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-5\right)\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Kerro -4 ja -5.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+20\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

Kerro 20 ja 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+60}}{2\left(-5\right)}$$

Lisää 81 lukuun 60.

$$x=\frac{-9±\sqrt{141}}{2\left(-5\right)}$$

Kerro 2 ja -5.

$$x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -9 lukuun \sqrt{141}.

$$x=\frac{\sqrt{141}-9}{-10}$$

Jaa -9+\sqrt{141} luvulla -10.

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{141} luvusta -9.

$$x=\frac{-\sqrt{141}-9}{-10}$$

Jaa -9-\sqrt{141} luvulla -10.

$$x=\frac{\sqrt{141}+9}{10}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10} x=\frac{\sqrt{141}+9}{10}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+9x=-3$$

Jaa molemmat puolet luvulla -5.

$$\frac{-5x^{2}+9x}{-5}=-\frac{3}{-5}$$

Jakaminen luvulla -5 kumoaa kertomisen luvulla -5.

$$x^{2}+\frac{9}{-5}x=-\frac{3}{-5}$$

Jaa 9 luvulla -5.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=-\frac{3}{-5}$$

Jaa -3 luvulla -5.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=\frac{3}{5}$$

Jaa -\frac{9}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{10}. Lisää sitten -\frac{9}{10}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{10} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=\frac{3}{5}+\frac{81}{100}$$

Lisää \frac{3}{5} lukuun \frac{81}{100} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=\frac{141}{100}$$

Jaa x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{141}{100}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{141}{100}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{141}}{10} x-\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{141}}{10}$$

Lisää \frac{9}{10} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{141}+9}{10} x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}$$