Ratkaise -5n^2+251n-7020=0

$$- 5 n ^ { 2 } + 251 n - 7020 = 0$$

Ratkaise muuttujan n suhteen

$$n=\frac{-\sqrt{77399}i+251}{10}\approx 25,1-27,820675765i$$

$$n=\frac{251+\sqrt{77399}i}{10}\approx 25,1+27,820675765i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-5n^{2}+251n-7020=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -5, b luvulla 251 ja c luvulla -7020 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-251±\sqrt{251^{2}-4\left(-5\right)\left(-7020\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Korota 251 neliöön.

$$n=\frac{-251±\sqrt{63001-4\left(-5\right)\left(-7020\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Kerro -4 ja -5.

$$n=\frac{-251±\sqrt{63001+20\left(-7020\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Kerro 20 ja -7020.

$$n=\frac{-251±\sqrt{63001-140400}}{2\left(-5\right)}$$

Lisää 63001 lukuun -140400.

$$n=\frac{-251±\sqrt{-77399}}{2\left(-5\right)}$$

Ota luvun -77399 neliöjuuri.

$$n=\frac{-251±\sqrt{77399}i}{2\left(-5\right)}$$

Kerro 2 ja -5.

$$n=\frac{-251±\sqrt{77399}i}{-10}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{-251±\sqrt{77399}i}{-10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -251 lukuun i\sqrt{77399}.

$$n=\frac{-251+\sqrt{77399}i}{-10}$$

Jaa -251+i\sqrt{77399} luvulla -10.

$$n=\frac{-\sqrt{77399}i+251}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{-251±\sqrt{77399}i}{-10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{77399} luvusta -251.

$$n=\frac{-\sqrt{77399}i-251}{-10}$$

Jaa -251-i\sqrt{77399} luvulla -10.

$$n=\frac{251+\sqrt{77399}i}{10}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$n=\frac{-\sqrt{77399}i+251}{10} n=\frac{251+\sqrt{77399}i}{10}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-5n^{2}+251n-7020=0$$

Lisää 7020 yhtälön kummallekin puolelle.

$$-5n^{2}+251n-7020-\left(-7020\right)=-\left(-7020\right)$$

Kun luku -7020 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-5n^{2}+251n=-\left(-7020\right)$$

Vähennä -7020 luvusta 0.

$$-5n^{2}+251n=7020$$

Jaa molemmat puolet luvulla -5.

$$\frac{-5n^{2}+251n}{-5}=\frac{7020}{-5}$$

Jakaminen luvulla -5 kumoaa kertomisen luvulla -5.

$$n^{2}+\frac{251}{-5}n=\frac{7020}{-5}$$

Jaa 251 luvulla -5.

$$n^{2}-\frac{251}{5}n=\frac{7020}{-5}$$

Jaa 7020 luvulla -5.

$$n^{2}-\frac{251}{5}n=-1404$$

Jaa -\frac{251}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{251}{10}. Lisää sitten -\frac{251}{10}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$n^{2}-\frac{251}{5}n+\left(-\frac{251}{10}\right)^{2}=-1404+\left(-\frac{251}{10}\right)^{2}$$

Korota -\frac{251}{10} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$n^{2}-\frac{251}{5}n+\frac{63001}{100}=-1404+\frac{63001}{100}$$

Lisää -1404 lukuun \frac{63001}{100}.

$$n^{2}-\frac{251}{5}n+\frac{63001}{100}=-\frac{77399}{100}$$

Jaa n^{2}-\frac{251}{5}n+\frac{63001}{100} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{251}{10}\right)^{2}=-\frac{77399}{100}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(n-\frac{251}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{77399}{100}}$$

Sievennä.

$$n-\frac{251}{10}=\frac{\sqrt{77399}i}{10} n-\frac{251}{10}=-\frac{\sqrt{77399}i}{10}$$

Lisää \frac{251}{10} yhtälön kummallekin puolelle.

$$n=\frac{251+\sqrt{77399}i}{10} n=\frac{-\sqrt{77399}i+251}{10}$$