Ratkaise -49t^2+98t+100=0

$$- 49 t ^ { 2 } + 98 t + 100 = 0$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t=\frac{\sqrt{149}}{7}+1\approx 2,743793659$$

$$t=-\frac{\sqrt{149}}{7}+1\approx -0,743793659$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-49t^{2}+98t+100=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -49, b luvulla 98 ja c luvulla 100 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-98±\sqrt{98^{2}-4\left(-49\right)\times 100}}{2\left(-49\right)}$$

Korota 98 neliöön.

$$t=\frac{-98±\sqrt{9604-4\left(-49\right)\times 100}}{2\left(-49\right)}$$

Kerro -4 ja -49.

$$t=\frac{-98±\sqrt{9604+196\times 100}}{2\left(-49\right)}$$

Kerro 196 ja 100.

$$t=\frac{-98±\sqrt{9604+19600}}{2\left(-49\right)}$$

Lisää 9604 lukuun 19600.

$$t=\frac{-98±\sqrt{29204}}{2\left(-49\right)}$$

Ota luvun 29204 neliöjuuri.

$$t=\frac{-98±14\sqrt{149}}{2\left(-49\right)}$$

Kerro 2 ja -49.

$$t=\frac{-98±14\sqrt{149}}{-98}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-98±14\sqrt{149}}{-98}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -98 lukuun 14\sqrt{149}.

$$t=\frac{14\sqrt{149}-98}{-98}$$

Jaa -98+14\sqrt{149} luvulla -98.

$$t=-\frac{\sqrt{149}}{7}+1$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-98±14\sqrt{149}}{-98}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 14\sqrt{149} luvusta -98.

$$t=\frac{-14\sqrt{149}-98}{-98}$$

Jaa -98-14\sqrt{149} luvulla -98.

$$t=\frac{\sqrt{149}}{7}+1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=-\frac{\sqrt{149}}{7}+1 t=\frac{\sqrt{149}}{7}+1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-49t^{2}+98t+100=0$$

Vähennä 100 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-49t^{2}+98t+100-100=-100$$

Kun luku 100 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-49t^{2}+98t=-100$$

Jaa molemmat puolet luvulla -49.

$$\frac{-49t^{2}+98t}{-49}=-\frac{100}{-49}$$

Jakaminen luvulla -49 kumoaa kertomisen luvulla -49.

$$t^{2}+\frac{98}{-49}t=-\frac{100}{-49}$$

Jaa 98 luvulla -49.

$$t^{2}-2t=-\frac{100}{-49}$$

Jaa -100 luvulla -49.

$$t^{2}-2t=\frac{100}{49}$$

Jaa -2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -1. Lisää sitten -1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-2t+1=\frac{100}{49}+1$$

Lisää \frac{100}{49} lukuun 1.

$$t^{2}-2t+1=\frac{149}{49}$$

Jaa t^{2}-2t+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-1\right)^{2}=\frac{149}{49}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{149}{49}}$$

Sievennä.

$$t-1=\frac{\sqrt{149}}{7} t-1=-\frac{\sqrt{149}}{7}$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=\frac{\sqrt{149}}{7}+1 t=-\frac{\sqrt{149}}{7}+1$$