Ratkaise -49t^2+2t-10=0

$$- 49 t ^ { 2 } + 2 t - 10 = 0$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t=\frac{-\sqrt{489}i+1}{49}\approx 0,020408163-0,451292743i$$

$$t=\frac{1+\sqrt{489}i}{49}\approx 0,020408163+0,451292743i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-49t^{2}+2t-10=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -49, b luvulla 2 ja c luvulla -10 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-49\right)\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Korota 2 neliöön.

$$t=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-49\right)\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Kerro -4 ja -49.

$$t=\frac{-2±\sqrt{4+196\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Kerro 196 ja -10.

$$t=\frac{-2±\sqrt{4-1960}}{2\left(-49\right)}$$

Lisää 4 lukuun -1960.

$$t=\frac{-2±\sqrt{-1956}}{2\left(-49\right)}$$

Ota luvun -1956 neliöjuuri.

$$t=\frac{-2±2\sqrt{489}i}{2\left(-49\right)}$$

Kerro 2 ja -49.

$$t=\frac{-2±2\sqrt{489}i}{-98}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-2±2\sqrt{489}i}{-98}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2i\sqrt{489}.

$$t=\frac{-2+2\sqrt{489}i}{-98}$$

Jaa -2+2i\sqrt{489} luvulla -98.

$$t=\frac{-\sqrt{489}i+1}{49}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-2±2\sqrt{489}i}{-98}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{489} luvusta -2.

$$t=\frac{-2\sqrt{489}i-2}{-98}$$

Jaa -2-2i\sqrt{489} luvulla -98.

$$t=\frac{1+\sqrt{489}i}{49}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\frac{-\sqrt{489}i+1}{49} t=\frac{1+\sqrt{489}i}{49}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-49t^{2}+2t-10=0$$

Lisää 10 yhtälön kummallekin puolelle.

$$-49t^{2}+2t-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Kun luku -10 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-49t^{2}+2t=-\left(-10\right)$$

Vähennä -10 luvusta 0.

$$-49t^{2}+2t=10$$

Jaa molemmat puolet luvulla -49.

$$\frac{-49t^{2}+2t}{-49}=\frac{10}{-49}$$

Jakaminen luvulla -49 kumoaa kertomisen luvulla -49.

$$t^{2}+\frac{2}{-49}t=\frac{10}{-49}$$

Jaa 2 luvulla -49.

$$t^{2}-\frac{2}{49}t=\frac{10}{-49}$$

Jaa 10 luvulla -49.

$$t^{2}-\frac{2}{49}t=-\frac{10}{49}$$

Jaa -\frac{2}{49} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{49}. Lisää sitten -\frac{1}{49}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-\frac{2}{49}t+\left(-\frac{1}{49}\right)^{2}=-\frac{10}{49}+\left(-\frac{1}{49}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{49} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}-\frac{2}{49}t+\frac{1}{2401}=-\frac{10}{49}+\frac{1}{2401}$$

Lisää -\frac{10}{49} lukuun \frac{1}{2401} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$t^{2}-\frac{2}{49}t+\frac{1}{2401}=-\frac{489}{2401}$$

Jaa t^{2}-\frac{2}{49}t+\frac{1}{2401} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{1}{49}\right)^{2}=-\frac{489}{2401}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-\frac{1}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{489}{2401}}$$

Sievennä.

$$t-\frac{1}{49}=\frac{\sqrt{489}i}{49} t-\frac{1}{49}=-\frac{\sqrt{489}i}{49}$$

Lisää \frac{1}{49} yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=\frac{1+\sqrt{489}i}{49} t=\frac{-\sqrt{489}i+1}{49}$$