Ratkaise -4b^2+22b-4=0

$$- 4 b ^ { 2 } + 22 b - 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan b suhteen

$$b = \frac{\sqrt{105} + 11}{4} \approx 5,311737691$$

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}\approx 0,188262309$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -4, b luvulla 22 ja c luvulla -4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Korota 22 neliöön.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro -4 ja -4.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 16 ja -4.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-64}}{2\left(-4\right)}$$

Lisää 484 lukuun -64.

$$b=\frac{-22±\sqrt{420}}{2\left(-4\right)}$$

Ota luvun 420 neliöjuuri.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 2 ja -4.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8}$$

Ratkaise nyt yhtälö b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -22 lukuun 2\sqrt{105}.

$$b=\frac{2\sqrt{105}-22}{-8}$$

Jaa -22+2\sqrt{105} luvulla -8.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{105} luvusta -22.

$$b=\frac{-2\sqrt{105}-22}{-8}$$

Jaa -22-2\sqrt{105} luvulla -8.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4} b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

Lisää 4 yhtälön kummallekin puolelle.

$$-4b^{2}+22b-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Kun luku -4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-4b^{2}+22b=-\left(-4\right)$$

Vähennä -4 luvusta 0.

$$-4b^{2}+22b=4$$

Jaa molemmat puolet luvulla -4.

$$\frac{-4b^{2}+22b}{-4}=\frac{4}{-4}$$

Jakaminen luvulla -4 kumoaa kertomisen luvulla -4.

$$b^{2}+\frac{22}{-4}b=\frac{4}{-4}$$

Supista murtoluku \frac{22}{-4} luvulla 2.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=\frac{4}{-4}$$

Jaa 4 luvulla -4.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=-1$$

Jaa -\frac{11}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{11}{4}. Lisää sitten -\frac{11}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{11}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=-1+\frac{121}{16}$$

Lisää -1 lukuun \frac{121}{16}.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=\frac{105}{16}$$

Jaa b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

Sievennä.

$$b-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{105}}{4} b-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

Lisää \frac{11}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4} b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$