Ratkaise -4a^2-5a+1=0

$$- 4 a ^ { 2 } - 5 a + 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan a suhteen

$$a=\frac{\sqrt{41}-5}{8}\approx 0,17539053$$

$$a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8}\approx -1,42539053$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-4a^{2}-5a+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -4, b luvulla -5 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Korota -5 neliöön.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro -4 ja -4.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+16}}{2\left(-4\right)}$$

Lisää 25 lukuun 16.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{41}}{2\left(-4\right)}$$

Luvun -5 vastaluku on 5.

$$a=\frac{5±\sqrt{41}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 2 ja -4.

$$a=\frac{5±\sqrt{41}}{-8}$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{5±\sqrt{41}}{-8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 5 lukuun \sqrt{41}.

$$a=\frac{\sqrt{41}+5}{-8}$$

Jaa 5+\sqrt{41} luvulla -8.

$$a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{5±\sqrt{41}}{-8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{41} luvusta 5.

$$a=\frac{5-\sqrt{41}}{-8}$$

Jaa 5-\sqrt{41} luvulla -8.

$$a=\frac{\sqrt{41}-5}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8} a=\frac{\sqrt{41}-5}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-4a^{2}-5a+1=0$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-4a^{2}-5a+1-1=-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-4a^{2}-5a=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla -4.

$$\frac{-4a^{2}-5a}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

Jakaminen luvulla -4 kumoaa kertomisen luvulla -4.

$$a^{2}+\left(-\frac{5}{-4}\right)a=-\frac{1}{-4}$$

Jaa -5 luvulla -4.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a=-\frac{1}{-4}$$

Jaa -1 luvulla -4.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a=\frac{1}{4}$$

Jaa \frac{5}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{8}. Lisää sitten \frac{5}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Lisää \frac{1}{4} lukuun \frac{25}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$a^{2}+\frac{5}{4}a+\frac{25}{64}=\frac{41}{64}$$

Jaa a^{2}+\frac{5}{4}a+\frac{25}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(a+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Sievennä.

$$a+\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} a+\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Vähennä \frac{5}{8} yhtälön molemmilta puolilta.

$$a=\frac{\sqrt{41}-5}{8} a=\frac{-\sqrt{41}-5}{8}$$