Ratkaise -30x^2+50x+20=0

$$- 30 x ^ { 2 } + 50 x + 20 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=2$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Jaa molemmat puolet luvulla 10.

$$-3x^{2}+5x+2=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon -3x^{2}+ax+bx+2. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=5 ab=-3\times 2=-6$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -6.

$$-1,6 -2,3$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 5.

$$a=6 b=-1$$

Kirjoita \left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-x+2\right) uudelleen muodossa -3x^{2}+5x+2.

$$\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-x+2\right)$$

Ota 3x tekijäksi lausekkeessa -3x^{2}+6x.

$$3x\left(-x+2\right)-x+2$$

Jaa yleinen termi -x+2 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(-x+2\right)\left(3x+1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista -x+2=0 ja 3x+1=0.

$$x=2 x=-\frac{1}{3}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-30x^{2}+50x+20=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -30, b luvulla 50 ja c luvulla 20 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\left(-30\right)\times 20}}{2\left(-30\right)}$$

Korota 50 neliöön.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500-4\left(-30\right)\times 20}}{2\left(-30\right)}$$

Kerro -4 ja -30.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500+120\times 20}}{2\left(-30\right)}$$

Kerro 120 ja 20.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500+2400}}{2\left(-30\right)}$$

Lisää 2500 lukuun 2400.

$$x=\frac{-50±\sqrt{4900}}{2\left(-30\right)}$$

Ota luvun 4900 neliöjuuri.

$$x=\frac{-50±70}{2\left(-30\right)}$$

Kerro 2 ja -30.

$$x=\frac{-50±70}{-60}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-50±70}{-60}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -50 lukuun 70.

$$x=\frac{20}{-60}$$

Supista murtoluku \frac{20}{-60} luvulla 20.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-50±70}{-60}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 70 luvusta -50.

$$x=-\frac{120}{-60}$$

Jaa -120 luvulla -60.

$$x=2$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{1}{3} x=2$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-30x^{2}+50x+20=0$$

Vähennä 20 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-30x^{2}+50x+20-20=-20$$

Kun luku 20 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-30x^{2}+50x=-20$$

Jaa molemmat puolet luvulla -30.

$$\frac{-30x^{2}+50x}{-30}=-\frac{20}{-30}$$

Jakaminen luvulla -30 kumoaa kertomisen luvulla -30.

$$x^{2}+\frac{50}{-30}x=-\frac{20}{-30}$$

Supista murtoluku \frac{50}{-30} luvulla 10.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{20}{-30}$$

Supista murtoluku \frac{-20}{-30} luvulla 10.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{2}{3}$$

Jaa -\frac{5}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{6}. Lisää sitten -\frac{5}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{2}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{2}{3}+\frac{25}{36}$$

Lisää \frac{2}{3} lukuun \frac{25}{36} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{49}{36}$$

Jaa x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{7}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{7}{6}$$

Lisää \frac{5}{6} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=2 x=-\frac{1}{3}$$