Ratkaise -3x^2-24x-51=0

$$- 3 x ^ { 2 } - 24 x - 51 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=-4+i$$

$$x=-4-i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-3x^{2}-24x-51=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -3, b luvulla -24 ja c luvulla -51 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-3\right)\left(-51\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Korota -24 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-3\right)\left(-51\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro -4 ja -3.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+12\left(-51\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 12 ja -51.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-612}}{2\left(-3\right)}$$

Lisää 576 lukuun -612.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-36}}{2\left(-3\right)}$$

Ota luvun -36 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±6i}{2\left(-3\right)}$$

Luvun -24 vastaluku on 24.

$$x=\frac{24±6i}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 2 ja -3.

$$x=\frac{24±6i}{-6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{24±6i}{-6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 24 lukuun 6i.

$$x=\frac{24+6i}{-6}$$

Jaa 24+6i luvulla -6.

$$x=-4-i$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{24±6i}{-6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6i luvusta 24.

$$x=\frac{24-6i}{-6}$$

Jaa 24-6i luvulla -6.

$$x=-4+i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-4-i x=-4+i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-24x-51=0$$

Lisää 51 yhtälön kummallekin puolelle.

$$-3x^{2}-24x-51-\left(-51\right)=-\left(-51\right)$$

Kun luku -51 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-3x^{2}-24x=-\left(-51\right)$$

Vähennä -51 luvusta 0.

$$-3x^{2}-24x=51$$

Jaa molemmat puolet luvulla -3.

$$\frac{-3x^{2}-24x}{-3}=\frac{51}{-3}$$

Jakaminen luvulla -3 kumoaa kertomisen luvulla -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{-3}\right)x=\frac{51}{-3}$$

Jaa -24 luvulla -3.

$$x^{2}+8x=\frac{51}{-3}$$

Jaa 51 luvulla -3.

$$x^{2}+8x=-17$$

Jaa 8 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 4. Lisää sitten 4:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+8x+4^{2}=-17+4^{2}$$

Korota 4 neliöön.

$$x^{2}+8x+16=-17+16$$

Lisää -17 lukuun 16.

$$x^{2}+8x+16=-1$$

Jaa x^{2}+8x+16 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+4\right)^{2}=-1$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+4\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Sievennä.

$$x+4=i x+4=-i$$

Vähennä 4 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-4+i x=-4-i$$