Ratkaise -3x^2=-11x+12

$$- 3 x ^ { 2 } = - 11 x + 12$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+11}{6}\approx 1,833333333-0,799305254i$$

$$x=\frac{11+\sqrt{23}i}{6}\approx 1,833333333+0,799305254i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Lisää 11x molemmille puolille.

$$-3x^{2}+11x=12$$

Vähennä 12 molemmilta puolilta.

$$-3x^{2}+11x-12=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -3, b luvulla 11 ja c luvulla -12 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-3\right)\left(-12\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Korota 11 neliöön.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-3\right)\left(-12\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro -4 ja -3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+12\left(-12\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 12 ja -12.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-144}}{2\left(-3\right)}$$

Lisää 121 lukuun -144.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-23}}{2\left(-3\right)}$$

Ota luvun -23 neliöjuuri.

$$x=\frac{-11±\sqrt{23}i}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 2 ja -3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{23}i}{-6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-11±\sqrt{23}i}{-6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -11 lukuun i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-11+\sqrt{23}i}{-6}$$

Jaa -11+i\sqrt{23} luvulla -6.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+11}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-11±\sqrt{23}i}{-6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{23} luvusta -11.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-11}{-6}$$

Jaa -11-i\sqrt{23} luvulla -6.

$$x=\frac{11+\sqrt{23}i}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+11}{6} x=\frac{11+\sqrt{23}i}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Lisää 11x molemmille puolille.

$$-3x^{2}+11x=12$$

Jaa molemmat puolet luvulla -3.

$$\frac{-3x^{2}+11x}{-3}=\frac{12}{-3}$$

Jakaminen luvulla -3 kumoaa kertomisen luvulla -3.

$$x^{2}+\frac{11}{-3}x=\frac{12}{-3}$$

Jaa 11 luvulla -3.

$$x^{2}-\frac{11}{3}x=\frac{12}{-3}$$

Jaa 12 luvulla -3.

$$x^{2}-\frac{11}{3}x=-4$$

Jaa -\frac{11}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{11}{6}. Lisää sitten -\frac{11}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{11}{3}x+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Korota -\frac{11}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-4+\frac{121}{36}$$

Lisää -4 lukuun \frac{121}{36}.

$$x^{2}-\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-\frac{23}{36}$$

Jaa x^{2}-\frac{11}{3}x+\frac{121}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{23}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{36}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{23}i}{6} x-\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{23}i}{6}$$

Lisää \frac{11}{6} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{11+\sqrt{23}i}{6} x=\frac{-\sqrt{23}i+11}{6}$$