Ratkaise -3x^2+5x-4=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x - 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}\approx 0,833333333-0,799305254i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}\approx 0,833333333+0,799305254i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-3x^{2}+5x-4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -3, b luvulla 5 ja c luvulla -4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-3\right)\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Korota 5 neliöön.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-3\right)\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro -4 ja -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+12\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 12 ja -4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-48}}{2\left(-3\right)}$$

Lisää 25 lukuun -48.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-23}}{2\left(-3\right)}$$

Ota luvun -23 neliöjuuri.

$$x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{2\left(-3\right)}$$

Kerro 2 ja -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -5 lukuun i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{23}i}{-6}$$

Jaa -5+i\sqrt{23} luvulla -6.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{23} luvusta -5.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-5}{-6}$$

Jaa -5-i\sqrt{23} luvulla -6.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6} x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+5x-4=0$$

Lisää 4 yhtälön kummallekin puolelle.

$$-3x^{2}+5x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Kun luku -4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-3x^{2}+5x=-\left(-4\right)$$

Vähennä -4 luvusta 0.

$$-3x^{2}+5x=4$$

Jaa molemmat puolet luvulla -3.

$$\frac{-3x^{2}+5x}{-3}=\frac{4}{-3}$$

Jakaminen luvulla -3 kumoaa kertomisen luvulla -3.

$$x^{2}+\frac{5}{-3}x=\frac{4}{-3}$$

Jaa 5 luvulla -3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{4}{-3}$$

Jaa 4 luvulla -3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Jaa -\frac{5}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{6}. Lisää sitten -\frac{5}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{25}{36}$$

Lisää -\frac{4}{3} lukuun \frac{25}{36} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{23}{36}$$

Jaa x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{23}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{36}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{23}i}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{23}i}{6}$$

Lisää \frac{5}{6} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6} x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$