Ratkaise -3x^2+5x+2geq0

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x + 2 \geq 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro epäyhtälö arvolla -1, jolloin yhtälön -3x^{2}+5x+2 korkeimman eksponentin kerroin on positiivinen. Koska -1 on negatiivinen, epäyhtälö suunta muuttuu.

$$3x^{2}-5x-2\leq 0$$

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$3x^{2}-5x-2=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 3 tilalle a, muuttujan -5 tilalle b ja muuttujan -2 tilalle c.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{5±7}{6}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{5±7}{6} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=2 x=-\frac{1}{3}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$3\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)\leq 0$$

Jotta tulo on ≤0, jommankumman arvoista x-2 ja x+\frac{1}{3} on oltava ≥0 ja toisen on oltava ≤0. Tarkastele tapausta, jossa x-2\geq 0 ja x+\frac{1}{3}\leq 0.

$$x-2\geq 0 x+\frac{1}{3}\leq 0$$

Tämä on epätosi kaikilla x:n arvoilla.

$$x\in \emptyset$$

Tarkastele tapausta, jossa x-2\leq 0 ja x+\frac{1}{3}\geq 0.

$$x+\frac{1}{3}\geq 0 x-2\leq 0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\in \left[-\frac{1}{3},2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$