Ratkaise -3x+2y=-6text{and}2x+4y=20

$$- 3 x + 2 y = - 6 \text { and } 2 x + 4 y = 20$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x=4$$

$$y=3$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$-3x+2y=-6,2x+4y=20$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$-3x+2y=-6$$

Vähennä 2y yhtälön molemmilta puolilta.

$$-3x=-2y-6$$

Jaa molemmat puolet luvulla -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-2y-6\right)$$

Kerro -\frac{1}{3} ja -2y-6.

$$x=\frac{2}{3}y+2$$

Korvaa x arvolla \frac{2y}{3}+2 toisessa yhtälössä, 2x+4y=20.

$$2\left(\frac{2}{3}y+2\right)+4y=20$$

Kerro 2 ja \frac{2y}{3}+2.

$$\frac{4}{3}y+4+4y=20$$

Lisää \frac{4y}{3} lukuun 4y.

$$\frac{16}{3}y+4=20$$

Vähennä 4 yhtälön molemmilta puolilta.

$$\frac{16}{3}y=16$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla \frac{16}{3}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$y=3$$

Korvaa y arvolla 3 yhtälössä x=\frac{2}{3}y+2. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=\frac{2}{3}\times 3+2$$

Kerro \frac{2}{3} ja 3.

$$x=2+2$$

Lisää 2 lukuun 2.

$$x=4$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=4,y=3$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$-3x+2y=-6,2x+4y=20$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}-3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\20\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}-3&2\\2&4\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\20\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\20\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\20\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-3\times 4-2\times 2}&-\frac{2}{-3\times 4-2\times 2}\\-\frac{2}{-3\times 4-2\times 2}&-\frac{3}{-3\times 4-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\20\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\20\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-6\right)+\frac{1}{8}\times 20\\\frac{1}{8}\left(-6\right)+\frac{3}{16}\times 20\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=4,y=3$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$-3x+2y=-6,2x+4y=20$$

Jos haluat saada luvut -3x ja 2x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 2 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla -3.

$$2\left(-3\right)x+2\times 2y=2\left(-6\right),-3\times 2x-3\times 4y=-3\times 20$$

Sievennä.

$$-6x+4y=-12,-6x-12y=-60$$

Vähennä -6x-12y=-60 lausekkeesta -6x+4y=-12 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$-6x+6x+4y+12y=-12+60$$

Lisää -6x lukuun 6x. Termit -6x ja 6x kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$4y+12y=-12+60$$

Lisää 4y lukuun 12y.

$$16y=-12+60$$

Lisää -12 lukuun 60.

$$16y=48$$

Jaa molemmat puolet luvulla 16.

$$y=3$$

Korvaa y arvolla 3 yhtälössä 2x+4y=20. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$2x+4\times 3=20$$

Kerro 4 ja 3.

$$2x+12=20$$

Vähennä 12 yhtälön molemmilta puolilta.

$$2x=8$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$x=4$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=4,y=3$$