Ratkaise -3(2x-1)+(x+1)(x-1)-5(x+2)=1

$$- 3 ( 2 x - 1 ) + ( x + 1 ) ( x - 1 ) - 5 ( x + 2 ) = 1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{157} + 11}{2} \approx 11,764982043$$

$$x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}\approx -0,764982043$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen -3 ja 2x-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$-6x+3+\left(x+1\right)\left(x-1\right)-5\left(x+2\right)=1$$

Tarkastele lauseketta \left(x+1\right)\left(x-1\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Korota 1 neliöön.

$$-6x+3+x^{2}-1-5\left(x+2\right)=1$$

Vähennä 1 luvusta 3 saadaksesi tuloksen 2.

$$-6x+2+x^{2}-5\left(x+2\right)=1$$

Laske lukujen -5 ja x+2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$-6x+2+x^{2}-5x-10=1$$

Selvitä -11x yhdistämällä -6x ja -5x.

$$-11x+2+x^{2}-10=1$$

Vähennä 10 luvusta 2 saadaksesi tuloksen -8.

$$-11x-8+x^{2}=1$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta.

$$-11x-8+x^{2}-1=0$$

Vähennä 1 luvusta -8 saadaksesi tuloksen -9.

$$-11x-9+x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-11x-9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -11 ja c luvulla -9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Korota -11 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-9\right)}}{2}$$

Kerro -4 ja -9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+36}}{2}$$

Lisää 121 lukuun 36.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{157}}{2}$$

Luvun -11 vastaluku on 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{157}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{11±\sqrt{157}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 11 lukuun \sqrt{157}.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{11±\sqrt{157}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{157} luvusta 11.

$$x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2} x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen -3 ja 2x-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$-6x+3+\left(x+1\right)\left(x-1\right)-5\left(x+2\right)=1$$

Tarkastele lauseketta \left(x+1\right)\left(x-1\right). Kertolasku voidaan muuntaa neliöiden erotukseksi seuraavalla säännöllä: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Korota 1 neliöön.

$$-6x+3+x^{2}-1-5\left(x+2\right)=1$$

Vähennä 1 luvusta 3 saadaksesi tuloksen 2.

$$-6x+2+x^{2}-5\left(x+2\right)=1$$

Laske lukujen -5 ja x+2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$-6x+2+x^{2}-5x-10=1$$

Selvitä -11x yhdistämällä -6x ja -5x.

$$-11x+2+x^{2}-10=1$$

Vähennä 10 luvusta 2 saadaksesi tuloksen -8.

$$-11x-8+x^{2}=1$$

Lisää 8 molemmille puolille.

$$-11x+x^{2}=1+8$$

Selvitä 9 laskemalla yhteen 1 ja 8.

$$-11x+x^{2}=9$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-11x=9$$

Jaa -11 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{11}{2}. Lisää sitten -\frac{11}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=9+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{11}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=9+\frac{121}{4}$$

Lisää 9 lukuun \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{157}{4}$$

Jaa x^{2}-11x+\frac{121}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{157}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{\sqrt{157}}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{\sqrt{157}}{2}$$

Lisää \frac{11}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2} x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$