Ratkaise -3/2x^2-5x-3=0

$$- 3 / 2 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{7}-5}{3}\approx -0,784749563$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}-5}{3}\approx -2,54858377$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-\frac{3}{2}x^{2}-5x-3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -\frac{3}{2}, b luvulla -5 ja c luvulla -3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-3\right)}}{2\left(-\frac{3}{2}\right)}$$

Korota -5 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-3\right)}}{2\left(-\frac{3}{2}\right)}$$

Kerro -4 ja -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+6\left(-3\right)}}{2\left(-\frac{3}{2}\right)}$$

Kerro 6 ja -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-18}}{2\left(-\frac{3}{2}\right)}$$

Lisää 25 lukuun -18.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{7}}{2\left(-\frac{3}{2}\right)}$$

Luvun -5 vastaluku on 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{7}}{2\left(-\frac{3}{2}\right)}$$

Kerro 2 ja -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{5±\sqrt{7}}{-3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{7}}{-3}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 5 lukuun \sqrt{7}.

$$x=\frac{\sqrt{7}+5}{-3}$$

Jaa 5+\sqrt{7} luvulla -3.

$$x=\frac{-\sqrt{7}-5}{3}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{7}}{-3}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{7} luvusta 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{7}}{-3}$$

Jaa 5-\sqrt{7} luvulla -3.

$$x=\frac{\sqrt{7}-5}{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{7}-5}{3} x=\frac{\sqrt{7}-5}{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-\frac{3}{2}x^{2}-5x-3=0$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$-\frac{3}{2}x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Kun luku -3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-\frac{3}{2}x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Vähennä -3 luvusta 0.

$$-\frac{3}{2}x^{2}-5x=3$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla -\frac{3}{2}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$\frac{-\frac{3}{2}x^{2}-5x}{-\frac{3}{2}}=\frac{3}{-\frac{3}{2}}$$

Jakaminen luvulla -\frac{3}{2} kumoaa kertomisen luvulla -\frac{3}{2}.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{-\frac{3}{2}}\right)x=\frac{3}{-\frac{3}{2}}$$

Jaa -5 luvulla -\frac{3}{2} kertomalla -5 luvun -\frac{3}{2} käänteisluvulla.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=\frac{3}{-\frac{3}{2}}$$

Jaa 3 luvulla -\frac{3}{2} kertomalla 3 luvun -\frac{3}{2} käänteisluvulla.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=-2$$

Jaa \frac{10}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{3}. Lisää sitten \frac{5}{3}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=-2+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=-2+\frac{25}{9}$$

Lisää -2 lukuun \frac{25}{9}.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{7}{9}$$

Jaa x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x+\frac{5}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Vähennä \frac{5}{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{7}-5}{3} x=\frac{-\sqrt{7}-5}{3}$$