Ratkaise -25x^2+21x-5=0

$$- 25 x ^ { 2 } + 21 x - 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+21}{50}\approx 0,42-0,153622915i$$

$$x=\frac{21+\sqrt{59}i}{50}\approx 0,42+0,153622915i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-25x^{2}+21x-5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -25, b luvulla 21 ja c luvulla -5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-25\right)\left(-5\right)}}{2\left(-25\right)}$$

Korota 21 neliöön.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-25\right)\left(-5\right)}}{2\left(-25\right)}$$

Kerro -4 ja -25.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441+100\left(-5\right)}}{2\left(-25\right)}$$

Kerro 100 ja -5.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-500}}{2\left(-25\right)}$$

Lisää 441 lukuun -500.

$$x=\frac{-21±\sqrt{-59}}{2\left(-25\right)}$$

Ota luvun -59 neliöjuuri.

$$x=\frac{-21±\sqrt{59}i}{2\left(-25\right)}$$

Kerro 2 ja -25.

$$x=\frac{-21±\sqrt{59}i}{-50}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-21±\sqrt{59}i}{-50}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -21 lukuun i\sqrt{59}.

$$x=\frac{-21+\sqrt{59}i}{-50}$$

Jaa -21+i\sqrt{59} luvulla -50.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+21}{50}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-21±\sqrt{59}i}{-50}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{59} luvusta -21.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i-21}{-50}$$

Jaa -21-i\sqrt{59} luvulla -50.

$$x=\frac{21+\sqrt{59}i}{50}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+21}{50} x=\frac{21+\sqrt{59}i}{50}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-25x^{2}+21x-5=0$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$-25x^{2}+21x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Kun luku -5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-25x^{2}+21x=-\left(-5\right)$$

Vähennä -5 luvusta 0.

$$-25x^{2}+21x=5$$

Jaa molemmat puolet luvulla -25.

$$\frac{-25x^{2}+21x}{-25}=\frac{5}{-25}$$

Jakaminen luvulla -25 kumoaa kertomisen luvulla -25.

$$x^{2}+\frac{21}{-25}x=\frac{5}{-25}$$

Jaa 21 luvulla -25.

$$x^{2}-\frac{21}{25}x=\frac{5}{-25}$$

Supista murtoluku \frac{5}{-25} luvulla 5.

$$x^{2}-\frac{21}{25}x=-\frac{1}{5}$$

Jaa -\frac{21}{25} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{21}{50}. Lisää sitten -\frac{21}{50}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{21}{25}x+\left(-\frac{21}{50}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(-\frac{21}{50}\right)^{2}$$

Korota -\frac{21}{50} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{21}{25}x+\frac{441}{2500}=-\frac{1}{5}+\frac{441}{2500}$$

Lisää -\frac{1}{5} lukuun \frac{441}{2500} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{21}{25}x+\frac{441}{2500}=-\frac{59}{2500}$$

Jaa x^{2}-\frac{21}{25}x+\frac{441}{2500} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{21}{50}\right)^{2}=-\frac{59}{2500}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{50}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{59}{2500}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{21}{50}=\frac{\sqrt{59}i}{50} x-\frac{21}{50}=-\frac{\sqrt{59}i}{50}$$

Lisää \frac{21}{50} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{21+\sqrt{59}i}{50} x=\frac{-\sqrt{59}i+21}{50}$$