Ratkaise -21x^2+77x=-30+18x

$$- 21 x ^ { 2 } + 77 x = - 30 + 18 x$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{6001} + 59}{42} \approx 3,249193372$$

$$x=\frac{59-\sqrt{6001}}{42}\approx -0,439669563$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä -30 molemmilta puolilta.

$$-21x^{2}+77x-\left(-30\right)=18x$$

Luvun -30 vastaluku on 30.

$$-21x^{2}+77x+30=18x$$

Vähennä 18x molemmilta puolilta.

$$-21x^{2}+77x+30-18x=0$$

Selvitä 59x yhdistämällä 77x ja -18x.

$$-21x^{2}+59x+30=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -21, b luvulla 59 ja c luvulla 30 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-59±\sqrt{59^{2}-4\left(-21\right)\times 30}}{2\left(-21\right)}$$

Korota 59 neliöön.

$$x=\frac{-59±\sqrt{3481-4\left(-21\right)\times 30}}{2\left(-21\right)}$$

Kerro -4 ja -21.

$$x=\frac{-59±\sqrt{3481+84\times 30}}{2\left(-21\right)}$$

Kerro 84 ja 30.

$$x=\frac{-59±\sqrt{3481+2520}}{2\left(-21\right)}$$

Lisää 3481 lukuun 2520.

$$x=\frac{-59±\sqrt{6001}}{2\left(-21\right)}$$

Kerro 2 ja -21.

$$x=\frac{-59±\sqrt{6001}}{-42}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-59±\sqrt{6001}}{-42}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -59 lukuun \sqrt{6001}.

$$x=\frac{\sqrt{6001}-59}{-42}$$

Jaa -59+\sqrt{6001} luvulla -42.

$$x=\frac{59-\sqrt{6001}}{42}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-59±\sqrt{6001}}{-42}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{6001} luvusta -59.

$$x=\frac{-\sqrt{6001}-59}{-42}$$

Jaa -59-\sqrt{6001} luvulla -42.

$$x=\frac{\sqrt{6001}+59}{42}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{59-\sqrt{6001}}{42} x=\frac{\sqrt{6001}+59}{42}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä 18x molemmilta puolilta.

$$-21x^{2}+77x-18x=-30$$

Selvitä 59x yhdistämällä 77x ja -18x.

$$-21x^{2}+59x=-30$$

Jaa molemmat puolet luvulla -21.

$$\frac{-21x^{2}+59x}{-21}=-\frac{30}{-21}$$

Jakaminen luvulla -21 kumoaa kertomisen luvulla -21.

$$x^{2}+\frac{59}{-21}x=-\frac{30}{-21}$$

Jaa 59 luvulla -21.

$$x^{2}-\frac{59}{21}x=-\frac{30}{-21}$$

Supista murtoluku \frac{-30}{-21} luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{59}{21}x=\frac{10}{7}$$

Jaa -\frac{59}{21} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{59}{42}. Lisää sitten -\frac{59}{42}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{59}{21}x+\left(-\frac{59}{42}\right)^{2}=\frac{10}{7}+\left(-\frac{59}{42}\right)^{2}$$

Korota -\frac{59}{42} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{59}{21}x+\frac{3481}{1764}=\frac{10}{7}+\frac{3481}{1764}$$

Lisää \frac{10}{7} lukuun \frac{3481}{1764} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{59}{21}x+\frac{3481}{1764}=\frac{6001}{1764}$$

Jaa x^{2}-\frac{59}{21}x+\frac{3481}{1764} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{59}{42}\right)^{2}=\frac{6001}{1764}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{59}{42}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{6001}{1764}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{59}{42}=\frac{\sqrt{6001}}{42} x-\frac{59}{42}=-\frac{\sqrt{6001}}{42}$$

Lisää \frac{59}{42} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{6001}+59}{42} x=\frac{59-\sqrt{6001}}{42}$$