Ratkaise -2y^2-6y+5=0

$$- 2 y ^ { 2 } - 6 y + 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=\frac{\sqrt{19}-3}{2}\approx 0,679449472$$

$$y=\frac{-\sqrt{19}-3}{2}\approx -3,679449472$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-2y^{2}-6y+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -2, b luvulla -6 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-2\right)\times 5}}{2\left(-2\right)}$$

Korota -6 neliöön.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-2\right)\times 5}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro -4 ja -2.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+8\times 5}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 8 ja 5.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+40}}{2\left(-2\right)}$$

Lisää 36 lukuun 40.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{76}}{2\left(-2\right)}$$

Ota luvun 76 neliöjuuri.

$$y=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{19}}{2\left(-2\right)}$$

Luvun -6 vastaluku on 6.

$$y=\frac{6±2\sqrt{19}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 2 ja -2.

$$y=\frac{6±2\sqrt{19}}{-4}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{6±2\sqrt{19}}{-4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 6 lukuun 2\sqrt{19}.

$$y=\frac{2\sqrt{19}+6}{-4}$$

Jaa 6+2\sqrt{19} luvulla -4.

$$y=\frac{-\sqrt{19}-3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{6±2\sqrt{19}}{-4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{19} luvusta 6.

$$y=\frac{6-2\sqrt{19}}{-4}$$

Jaa 6-2\sqrt{19} luvulla -4.

$$y=\frac{\sqrt{19}-3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=\frac{-\sqrt{19}-3}{2} y=\frac{\sqrt{19}-3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-2y^{2}-6y+5=0$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-2y^{2}-6y+5-5=-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-2y^{2}-6y=-5$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2.

$$\frac{-2y^{2}-6y}{-2}=-\frac{5}{-2}$$

Jakaminen luvulla -2 kumoaa kertomisen luvulla -2.

$$y^{2}+\left(-\frac{6}{-2}\right)y=-\frac{5}{-2}$$

Jaa -6 luvulla -2.

$$y^{2}+3y=-\frac{5}{-2}$$

Jaa -5 luvulla -2.

$$y^{2}+3y=\frac{5}{2}$$

Jaa 3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{2}. Lisää sitten \frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}+3y+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$y^{2}+3y+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}+\frac{9}{4}$$

Lisää \frac{5}{2} lukuun \frac{9}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$y^{2}+3y+\frac{9}{4}=\frac{19}{4}$$

Jaa y^{2}+3y+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{19}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{19}{4}}$$

Sievennä.

$$y+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{19}}{2} y+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{19}}{2}$$

Vähennä \frac{3}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$y=\frac{\sqrt{19}-3}{2} y=\frac{-\sqrt{19}-3}{2}$$