Ratkaise -2x^2-5x-3<0

$$- 2 x ^ { 2 } - 5 x - 3 < 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \left(-\infty,-\frac{3}{2}\right)\cup \left(-1,\infty\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro epäyhtälö arvolla -1, jolloin yhtälön -2x^{2}-5x-3 korkeimman eksponentin kerroin on positiivinen. Koska -1 on <0, erisuuruuden suunta muuttuu.

$$2x^{2}+5x+3>0$$

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$2x^{2}+5x+3=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 2 tilalle a, muuttujan 5 tilalle b ja muuttujan 3 tilalle c.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{-5±1}{4}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{-5±1}{4} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=-1 x=-\frac{3}{2}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$2\left(x+1\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)>0$$

Jotta tulo on positiivinen, arvojen x+1 ja x+\frac{3}{2} on kummankin oltava joko negatiivisia tai positiivisia. Tarkastele tapausta, jossa x+1 ja x+\frac{3}{2} ovat molemmat negatiivisia.

$$x+1<0 x+\frac{3}{2}<0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x<-\frac{3}{2}.

$$x<-\frac{3}{2}$$

Tarkastele tapausta, jossa x+1 ja x+\frac{3}{2} ovat molemmat positiivisia.

$$x+\frac{3}{2}>0 x+1>0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x>-1.

$$x>-1$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x<-\frac{3}{2}\text{; }x>-1$$