Ratkaise -2x^2-5x+5=0

$$- 2 x ^ { 2 } - 5 x + 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{65}-5}{4}\approx 0,765564437$$

$$x=\frac{-\sqrt{65}-5}{4}\approx -3,265564437$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-2x^{2}-5x+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -2, b luvulla -5 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-2\right)\times 5}}{2\left(-2\right)}$$

Korota -5 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-2\right)\times 5}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro -4 ja -2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+8\times 5}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 8 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+40}}{2\left(-2\right)}$$

Lisää 25 lukuun 40.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{65}}{2\left(-2\right)}$$

Luvun -5 vastaluku on 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{65}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 2 ja -2.

$$x=\frac{5±\sqrt{65}}{-4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{65}}{-4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 5 lukuun \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}+5}{-4}$$

Jaa 5+\sqrt{65} luvulla -4.

$$x=\frac{-\sqrt{65}-5}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±\sqrt{65}}{-4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{65} luvusta 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{65}}{-4}$$

Jaa 5-\sqrt{65} luvulla -4.

$$x=\frac{\sqrt{65}-5}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{65}-5}{4} x=\frac{\sqrt{65}-5}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}-5x+5=0$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-2x^{2}-5x+5-5=-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-2x^{2}-5x=-5$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2.

$$\frac{-2x^{2}-5x}{-2}=-\frac{5}{-2}$$

Jakaminen luvulla -2 kumoaa kertomisen luvulla -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{-2}\right)x=-\frac{5}{-2}$$

Jaa -5 luvulla -2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=-\frac{5}{-2}$$

Jaa -5 luvulla -2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{5}{2}$$

Jaa \frac{5}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{4}. Lisää sitten \frac{5}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{5}{2}+\frac{25}{16}$$

Lisää \frac{5}{2} lukuun \frac{25}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{65}{16}$$

Jaa x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{65}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{16}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{65}}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{65}}{4}$$

Vähennä \frac{5}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{65}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{65}-5}{4}$$