Ratkaise -2x^2+7x+6=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 7 x + 6 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{97} + 7}{4} \approx 4,21221445$$

$$x=\frac{7-\sqrt{97}}{4}\approx -0,71221445$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-2x^{2}+7x+6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -2, b luvulla 7 ja c luvulla 6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-2\right)\times 6}}{2\left(-2\right)}$$

Korota 7 neliöön.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-2\right)\times 6}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro -4 ja -2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+8\times 6}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 8 ja 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+48}}{2\left(-2\right)}$$

Lisää 49 lukuun 48.

$$x=\frac{-7±\sqrt{97}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 2 ja -2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{97}}{-4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±\sqrt{97}}{-4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -7 lukuun \sqrt{97}.

$$x=\frac{\sqrt{97}-7}{-4}$$

Jaa -7+\sqrt{97} luvulla -4.

$$x=\frac{7-\sqrt{97}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±\sqrt{97}}{-4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{97} luvusta -7.

$$x=\frac{-\sqrt{97}-7}{-4}$$

Jaa -7-\sqrt{97} luvulla -4.

$$x=\frac{\sqrt{97}+7}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{7-\sqrt{97}}{4} x=\frac{\sqrt{97}+7}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+7x+6=0$$

Vähennä 6 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-2x^{2}+7x+6-6=-6$$

Kun luku 6 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-2x^{2}+7x=-6$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2.

$$\frac{-2x^{2}+7x}{-2}=-\frac{6}{-2}$$

Jakaminen luvulla -2 kumoaa kertomisen luvulla -2.

$$x^{2}+\frac{7}{-2}x=-\frac{6}{-2}$$

Jaa 7 luvulla -2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{6}{-2}$$

Jaa -6 luvulla -2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=3$$

Jaa -\frac{7}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{4}. Lisää sitten -\frac{7}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=3+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=3+\frac{49}{16}$$

Lisää 3 lukuun \frac{49}{16}.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{97}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{97}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{97}}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{97}}{4}$$

Lisää \frac{7}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{97}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{97}}{4}$$