Ratkaise -2x^2+6x+16=-4

$$- 2 x ^ { 2 } + 6 x + 16 = - 4$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-2$$

$$x=5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Lisää 4 molemmille puolille.

$$-2x^{2}+6x+16+4=0$$

Selvitä 20 laskemalla yhteen 16 ja 4.

$$-2x^{2}+6x+20=0$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$-x^{2}+3x+10=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon -x^{2}+ax+bx+10. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=3 ab=-10=-10$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -10.

$$-1,10 -2,5$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 3.

$$a=5 b=-2$$

Kirjoita \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right) uudelleen muodossa -x^{2}+3x+10.

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right)$$

Jaa -x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja -2.

$$-x\left(x-5\right)-2\left(x-5\right)$$

Jaa yleinen termi x-5 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-5\right)\left(-x-2\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-5=0 ja -x-2=0.

$$x=5 x=-2$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-2x^{2}+6x+16=-4$$

Lisää 4 yhtälön kummallekin puolelle.

$$-2x^{2}+6x+16-\left(-4\right)=-4-\left(-4\right)$$

Kun luku -4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-2x^{2}+6x+16-\left(-4\right)=0$$

Vähennä -4 luvusta 16.

$$-2x^{2}+6x+20=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -2, b luvulla 6 ja c luvulla 20 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-2\right)\times 20}}{2\left(-2\right)}$$

Korota 6 neliöön.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-2\right)\times 20}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro -4 ja -2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+8\times 20}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 8 ja 20.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+160}}{2\left(-2\right)}$$

Lisää 36 lukuun 160.

$$x=\frac{-6±\sqrt{196}}{2\left(-2\right)}$$

Ota luvun 196 neliöjuuri.

$$x=\frac{-6±14}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 2 ja -2.

$$x=\frac{-6±14}{-4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±14}{-4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -6 lukuun 14.

$$x=\frac{8}{-4}$$

Jaa 8 luvulla -4.

$$x=-2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-6±14}{-4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 14 luvusta -6.

$$x=-\frac{20}{-4}$$

Jaa -20 luvulla -4.

$$x=5$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-2 x=5$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+6x+16=-4$$

Vähennä 16 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-2x^{2}+6x+16-16=-4-16$$

Kun luku 16 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-2x^{2}+6x=-4-16$$

Vähennä 16 luvusta -4.

$$-2x^{2}+6x=-20$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2.

$$\frac{-2x^{2}+6x}{-2}=-\frac{20}{-2}$$

Jakaminen luvulla -2 kumoaa kertomisen luvulla -2.

$$x^{2}+\frac{6}{-2}x=-\frac{20}{-2}$$

Jaa 6 luvulla -2.

$$x^{2}-3x=-\frac{20}{-2}$$

Jaa -20 luvulla -2.

$$x^{2}-3x=10$$

Jaa -3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{2}. Lisää sitten -\frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Lisää 10 lukuun \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Jaa x^{2}-3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Lisää \frac{3}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=5 x=-2$$