Ratkaise -2x^2+12x-14>0

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro epäyhtälö arvolla -1, jolloin yhtälön -2x^{2}+12x-14 korkeimman eksponentin kerroin on positiivinen. Koska -1 on negatiivinen, epäyhtälö suunta muuttuu.

$$2x^{2}-12x+14<0$$

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$2x^{2}-12x+14=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 2 tilalle a, muuttujan -12 tilalle b ja muuttujan 14 tilalle c.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Jotta tulo on negatiivinen, arvoilla x-\left(\sqrt{2}+3\right) ja x-\left(3-\sqrt{2}\right) on oltava päinvastaiset etumerkit. Tarkastele tapausta, jossa x-\left(\sqrt{2}+3\right) on positiivinen ja x-\left(3-\sqrt{2}\right) on negatiivinen.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Tämä on epätosi kaikilla x:n arvoilla.

$$x\in \emptyset$$

Tarkastele tapausta, jossa x-\left(3-\sqrt{2}\right) on positiivinen ja x-\left(\sqrt{2}+3\right) on negatiivinen.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$