Ratkaise -2a^2-2a-3=-4a^2

$$- 2 a ^ { 2 } - 2 a - 3 = - 4 a ^ { 2 }$$

Ratkaise muuttujan a suhteen

$$a = \frac{\sqrt{7} + 1}{2} \approx 1,822875656$$

$$a=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0,822875656$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Lisää 4a^{2} molemmille puolille.

$$-2a^{2}-2a-3+4a^{2}=0$$

Selvitä 2a^{2} yhdistämällä -2a^{2} ja 4a^{2}.

$$2a^{2}-2a-3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -2 ja c luvulla -3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Korota -2 neliöön.

$$a=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$a=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -3.

$$a=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+24}}{2\times 2}$$

Lisää 4 lukuun 24.

$$a=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{28}}{2\times 2}$$

Ota luvun 28 neliöjuuri.

$$a=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$a=\frac{2±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$a=\frac{2±2\sqrt{7}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{2±2\sqrt{7}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 2\sqrt{7}.

$$a=\frac{2\sqrt{7}+2}{4}$$

Jaa 2+2\sqrt{7} luvulla 4.

$$a=\frac{\sqrt{7}+1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{2±2\sqrt{7}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{7} luvusta 2.

$$a=\frac{2-2\sqrt{7}}{4}$$

Jaa 2-2\sqrt{7} luvulla 4.

$$a=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$a=\frac{\sqrt{7}+1}{2} a=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Lisää 4a^{2} molemmille puolille.

$$-2a^{2}-2a-3+4a^{2}=0$$

Selvitä 2a^{2} yhdistämällä -2a^{2} ja 4a^{2}.

$$2a^{2}-2a-3=0$$

Lisää 3 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$2a^{2}-2a=3$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2a^{2}-2a}{2}=\frac{3}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$a^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)a=\frac{3}{2}$$

Jaa -2 luvulla 2.

$$a^{2}-a=\frac{3}{2}$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$a^{2}-a+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$a^{2}-a+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}+\frac{1}{4}$$

Lisää \frac{3}{2} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$a^{2}-a+\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$$

Jaa a^{2}-a+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{7}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(a-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{4}}$$

Sievennä.

$$a-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{7}}{2} a-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{7}}{2}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$a=\frac{\sqrt{7}+1}{2} a=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$