Ratkaise -16t^2+96t-108

$$- 16 t ^ { 2 } + 96 t - 108$$

Jaa tekijöihin

$$4\left(3-2t\right)\left(2t-9\right)$$

Ratkaisun vaiheet

Jaa tekijöihin 4:n suhteen.

$$4\left(-4t^{2}+24t-27\right)$$

Tarkastele lauseketta -4t^{2}+24t-27. Jaa lauseke tekijöihin ryhmittelemällä. Lauseke täytyy kirjoittaa ensin uudelleen muodossa -4t^{2}+at+bt-27. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=24 ab=-4\left(-27\right)=108$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 108.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 24.

$$a=18 b=6$$

Kirjoita \left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right) uudelleen muodossa -4t^{2}+24t-27.

$$\left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right)$$

Jaa -2t toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 3.

$$-2t\left(2t-9\right)+3\left(2t-9\right)$$

Jaa yleinen termi 2t-9 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Kirjoita koko tekijöihin jaettu lauseke uudelleen.

$$4\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$-16t^{2}+96t-108=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$t=\frac{-96±\sqrt{96^{2}-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Korota 96 neliöön.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Kerro -4 ja -16.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216+64\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Kerro 64 ja -108.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-6912}}{2\left(-16\right)}$$

Lisää 9216 lukuun -6912.

$$t=\frac{-96±\sqrt{2304}}{2\left(-16\right)}$$

Ota luvun 2304 neliöjuuri.

$$t=\frac{-96±48}{2\left(-16\right)}$$

Kerro 2 ja -16.

$$t=\frac{-96±48}{-32}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-96±48}{-32}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -96 lukuun 48.

$$t=-\frac{48}{-32}$$

Supista murtoluku \frac{-48}{-32} luvulla 16.

$$t=\frac{3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-96±48}{-32}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 48 luvusta -96.

$$t=-\frac{144}{-32}$$

Supista murtoluku \frac{-144}{-32} luvulla 16.

$$t=\frac{9}{2}$$

Jaa alkuperäinen lauseke tekijöihin yhtälön ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) avulla. Korvaa \frac{3}{2} kohteella x_{1} ja \frac{9}{2} kohteella x_{2}.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\left(t-\frac{3}{2}\right)\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Vähennä \frac{3}{2} luvusta t selvittämällä yhteinen nimittäjä ja vähentämällä osoittajat. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Vähennä \frac{9}{2} luvusta t selvittämällä yhteinen nimittäjä ja vähentämällä osoittajat. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\times \frac{-2t+9}{-2}$$

Kerro \frac{-2t+3}{-2} ja \frac{-2t+9}{-2} kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{-2\left(-2\right)}$$

Kerro -2 ja -2.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{4}$$

Supista lausekkeiden -16 ja 4 suurin yhteinen tekijä 4.

$$-16t^{2}+96t-108=-4\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)$$

Laske

$$-16t^{2}+96t-108$$