Ratkaise -16t^2+92t+20=0

$$- 16 t ^ { 2 } + 92 t + 20 = 0$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t = \frac{\sqrt{609} + 23}{8} \approx 5,95974067$$

$$t=\frac{23-\sqrt{609}}{8}\approx -0,20974067$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-16t^{2}+92t+20=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -16, b luvulla 92 ja c luvulla 20 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-92±\sqrt{92^{2}-4\left(-16\right)\times 20}}{2\left(-16\right)}$$

Korota 92 neliöön.

$$t=\frac{-92±\sqrt{8464-4\left(-16\right)\times 20}}{2\left(-16\right)}$$

Kerro -4 ja -16.

$$t=\frac{-92±\sqrt{8464+64\times 20}}{2\left(-16\right)}$$

Kerro 64 ja 20.

$$t=\frac{-92±\sqrt{8464+1280}}{2\left(-16\right)}$$

Lisää 8464 lukuun 1280.

$$t=\frac{-92±\sqrt{9744}}{2\left(-16\right)}$$

Ota luvun 9744 neliöjuuri.

$$t=\frac{-92±4\sqrt{609}}{2\left(-16\right)}$$

Kerro 2 ja -16.

$$t=\frac{-92±4\sqrt{609}}{-32}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-92±4\sqrt{609}}{-32}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -92 lukuun 4\sqrt{609}.

$$t=\frac{4\sqrt{609}-92}{-32}$$

Jaa -92+4\sqrt{609} luvulla -32.

$$t=\frac{23-\sqrt{609}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-92±4\sqrt{609}}{-32}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{609} luvusta -92.

$$t=\frac{-4\sqrt{609}-92}{-32}$$

Jaa -92-4\sqrt{609} luvulla -32.

$$t=\frac{\sqrt{609}+23}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\frac{23-\sqrt{609}}{8} t=\frac{\sqrt{609}+23}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-16t^{2}+92t+20=0$$

Vähennä 20 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-16t^{2}+92t+20-20=-20$$

Kun luku 20 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-16t^{2}+92t=-20$$

Jaa molemmat puolet luvulla -16.

$$\frac{-16t^{2}+92t}{-16}=-\frac{20}{-16}$$

Jakaminen luvulla -16 kumoaa kertomisen luvulla -16.

$$t^{2}+\frac{92}{-16}t=-\frac{20}{-16}$$

Supista murtoluku \frac{92}{-16} luvulla 4.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t=-\frac{20}{-16}$$

Supista murtoluku \frac{-20}{-16} luvulla 4.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t=\frac{5}{4}$$

Jaa -\frac{23}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{23}{8}. Lisää sitten -\frac{23}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t+\left(-\frac{23}{8}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{23}{8}\right)^{2}$$

Korota -\frac{23}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t+\frac{529}{64}=\frac{5}{4}+\frac{529}{64}$$

Lisää \frac{5}{4} lukuun \frac{529}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t+\frac{529}{64}=\frac{609}{64}$$

Jaa t^{2}-\frac{23}{4}t+\frac{529}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{23}{8}\right)^{2}=\frac{609}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-\frac{23}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{609}{64}}$$

Sievennä.

$$t-\frac{23}{8}=\frac{\sqrt{609}}{8} t-\frac{23}{8}=-\frac{\sqrt{609}}{8}$$

Lisää \frac{23}{8} yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=\frac{\sqrt{609}+23}{8} t=\frac{23-\sqrt{609}}{8}$$