Ratkaise -16t^2+64t+80=128

$$- 16 t ^ { 2 } + 64 t + 80 = 128$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t=1$$

$$t=3$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 128 molemmilta puolilta.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Vähennä 128 luvusta 80 saadaksesi tuloksen -48.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Jaa molemmat puolet luvulla 16.

$$-t^{2}+4t-3=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon -t^{2}+at+bt-3. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=4 ab=-\left(-3\right)=3$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Ainoa tällainen pari on järjestelmäratkaisu.

$$a=3 b=1$$

Kirjoita \left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right) uudelleen muodossa -t^{2}+4t-3.

$$\left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right)$$

Ota -t tekijäksi lausekkeessa -t^{2}+3t.

$$-t\left(t-3\right)+t-3$$

Jaa yleinen termi t-3 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(t-3\right)\left(-t+1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista t-3=0 ja -t+1=0.

$$t=3 t=1$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Vähennä 128 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-16t^{2}+64t+80-128=128-128$$

Kun luku 128 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Vähennä 128 luvusta 80.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -16, b luvulla 64 ja c luvulla -48 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Korota 64 neliöön.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Kerro -4 ja -16.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096+64\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Kerro 64 ja -48.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-3072}}{2\left(-16\right)}$$

Lisää 4096 lukuun -3072.

$$t=\frac{-64±\sqrt{1024}}{2\left(-16\right)}$$

Ota luvun 1024 neliöjuuri.

$$t=\frac{-64±32}{2\left(-16\right)}$$

Kerro 2 ja -16.

$$t=\frac{-64±32}{-32}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-64±32}{-32}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -64 lukuun 32.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

Jaa -32 luvulla -32.

$$t=1$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-64±32}{-32}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 32 luvusta -64.

$$t=-\frac{96}{-32}$$

Jaa -96 luvulla -32.

$$t=3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=1 t=3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Vähennä 80 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-16t^{2}+64t+80-80=128-80$$

Kun luku 80 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-16t^{2}+64t=128-80$$

Vähennä 80 luvusta 128.

$$-16t^{2}+64t=48$$

Jaa molemmat puolet luvulla -16.

$$\frac{-16t^{2}+64t}{-16}=\frac{48}{-16}$$

Jakaminen luvulla -16 kumoaa kertomisen luvulla -16.

$$t^{2}+\frac{64}{-16}t=\frac{48}{-16}$$

Jaa 64 luvulla -16.

$$t^{2}-4t=\frac{48}{-16}$$

Jaa 48 luvulla -16.

$$t^{2}-4t=-3$$

Jaa -4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -2. Lisää sitten -2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-4t+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$t^{2}-4t+4=-3+4$$

Lisää -3 lukuun 4.

$$t^{2}-4t+4=1$$

Jaa t^{2}-4t+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-2\right)^{2}=1$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Sievennä.

$$t-2=1 t-2=-1$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=3 t=1$$