Ratkaise -12x^2-36x+31geq0

$$- 12 x ^ { 2 } - 36 x + 31 \geq 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\end{bmatrix}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro epäyhtälö arvolla -1, jolloin yhtälön -12x^{2}-36x+31 korkeimman eksponentin kerroin on positiivinen. Koska -1 on negatiivinen, epäyhtälö suunta muuttuu.

$$12x^{2}+36x-31\leq 0$$

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$12x^{2}+36x-31=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 12 tilalle a, muuttujan 36 tilalle b ja muuttujan -31 tilalle c.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-31\right)}}{2\times 12}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{-36±4\sqrt{174}}{24}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{-36±4\sqrt{174}}{24} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$12\left(x-\left(\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\right)\leq 0$$

Jotta tulo on ≤0, jommankumman arvoista x-\left(\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right) ja x-\left(-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right) on oltava ≥0 ja toisen on oltava ≤0. Tarkastele tapausta, jossa x-\left(\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\geq 0 ja x-\left(-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\leq 0.

$$x-\left(\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\geq 0 x-\left(-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\leq 0$$

Tämä on epätosi kaikilla x:n arvoilla.

$$x\in \emptyset$$

Tarkastele tapausta, jossa x-\left(\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\leq 0 ja x-\left(-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\geq 0.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\geq 0 x-\left(\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right)\leq 0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\in \left[-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\end{bmatrix}$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{174}}{6}-\frac{3}{2}\end{bmatrix}$$