Ratkaise -y^2+10y+400=0

$$- { y }^{ 2 } +10y+400=0$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=5\sqrt{17}+5\approx 25,615528128$$

$$y=5-5\sqrt{17}\approx -15,615528128$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-y^{2}+10y+400=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 10 ja c luvulla 400 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-1\right)\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 10 neliöön.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-1\right)\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100+4\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja 400.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100+1600}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 100 lukuun 1600.

$$y=\frac{-10±\sqrt{1700}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 1700 neliöjuuri.

$$y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -10 lukuun 10\sqrt{17}.

$$y=\frac{10\sqrt{17}-10}{-2}$$

Jaa -10+10\sqrt{17} luvulla -2.

$$y=5-5\sqrt{17}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 10\sqrt{17} luvusta -10.

$$y=\frac{-10\sqrt{17}-10}{-2}$$

Jaa -10-10\sqrt{17} luvulla -2.

$$y=5\sqrt{17}+5$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=5-5\sqrt{17} y=5\sqrt{17}+5$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-y^{2}+10y+400=0$$

Vähennä 400 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-y^{2}+10y+400-400=-400$$

Kun luku 400 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-y^{2}+10y=-400$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-y^{2}+10y}{-1}=-\frac{400}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$y^{2}+\frac{10}{-1}y=-\frac{400}{-1}$$

Jaa 10 luvulla -1.

$$y^{2}-10y=-\frac{400}{-1}$$

Jaa -400 luvulla -1.

$$y^{2}-10y=400$$

Jaa -10 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -5. Lisää sitten -5:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}-10y+\left(-5\right)^{2}=400+\left(-5\right)^{2}$$

Korota -5 neliöön.

$$y^{2}-10y+25=400+25$$

Lisää 400 lukuun 25.

$$y^{2}-10y+25=425$$

Jaa y^{2}-10y+25 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-5\right)^{2}=425$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y-5\right)^{2}}=\sqrt{425}$$

Sievennä.

$$y-5=5\sqrt{17} y-5=-5\sqrt{17}$$

Lisää 5 yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=5\sqrt{17}+5 y=5-5\sqrt{17}$$