Ratkaise -x^2-6x+35=0

$$- { x }^{ 2 } -6x+35=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=2\sqrt{11}-3\approx 3,633249581$$

$$x=-2\sqrt{11}-3\approx -9,633249581$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}-6x+35=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla -6 ja c luvulla 35 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 35}}{2\left(-1\right)}$$

Korota -6 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 35}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+4\times 35}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja 35.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+140}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 36 lukuun 140.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{176}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 176 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±4\sqrt{11}}{2\left(-1\right)}$$

Luvun -6 vastaluku on 6.

$$x=\frac{6±4\sqrt{11}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{6±4\sqrt{11}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±4\sqrt{11}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 6 lukuun 4\sqrt{11}.

$$x=\frac{4\sqrt{11}+6}{-2}$$

Jaa 6+4\sqrt{11} luvulla -2.

$$x=-2\sqrt{11}-3$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{6±4\sqrt{11}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{11} luvusta 6.

$$x=\frac{6-4\sqrt{11}}{-2}$$

Jaa 6-4\sqrt{11} luvulla -2.

$$x=2\sqrt{11}-3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-2\sqrt{11}-3 x=2\sqrt{11}-3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-6x+35=0$$

Vähennä 35 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-x^{2}-6x+35-35=-35$$

Kun luku 35 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-x^{2}-6x=-35$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}-6x}{-1}=-\frac{35}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{-1}\right)x=-\frac{35}{-1}$$

Jaa -6 luvulla -1.

$$x^{2}+6x=-\frac{35}{-1}$$

Jaa -35 luvulla -1.

$$x^{2}+6x=35$$

Jaa 6 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 3. Lisää sitten 3:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+6x+3^{2}=35+3^{2}$$

Korota 3 neliöön.

$$x^{2}+6x+9=35+9$$

Lisää 35 lukuun 9.

$$x^{2}+6x+9=44$$

Jaa x^{2}+6x+9 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=44$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{44}$$

Sievennä.

$$x+3=2\sqrt{11} x+3=-2\sqrt{11}$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=2\sqrt{11}-3 x=-2\sqrt{11}-3$$