Ratkaise -x^2+45x-200=124

$$- { x }^{ 2 } +45x-200=124$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=9$$

$$x=36$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 124 molemmilta puolilta.

$$-x^{2}+45x-200-124=0$$

Vähennä 124 luvusta -200 saadaksesi tuloksen -324.

$$-x^{2}+45x-324=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon -x^{2}+ax+bx-324. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=45 ab=-\left(-324\right)=324$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 324.

$$1,324 2,162 3,108 4,81 6,54 9,36 12,27 18,18$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+324=325 2+162=164 3+108=111 4+81=85 6+54=60 9+36=45 12+27=39 18+18=36$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 45.

$$a=36 b=9$$

Kirjoita \left(-x^{2}+36x\right)+\left(9x-324\right) uudelleen muodossa -x^{2}+45x-324.

$$\left(-x^{2}+36x\right)+\left(9x-324\right)$$

Jaa -x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 9.

$$-x\left(x-36\right)+9\left(x-36\right)$$

Jaa yleinen termi x-36 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-36\right)\left(-x+9\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-36=0 ja -x+9=0.

$$x=36 x=9$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+45x-200=124$$

Vähennä 124 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-x^{2}+45x-200-124=124-124$$

Kun luku 124 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-x^{2}+45x-200-124=0$$

Vähennä 124 luvusta -200.

$$-x^{2}+45x-324=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 45 ja c luvulla -324 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\left(-1\right)\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 45 neliöön.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-4\left(-1\right)\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025+4\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -324.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-1296}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 2025 lukuun -1296.

$$x=\frac{-45±\sqrt{729}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 729 neliöjuuri.

$$x=\frac{-45±27}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-45±27}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-45±27}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -45 lukuun 27.

$$x=-\frac{18}{-2}$$

Jaa -18 luvulla -2.

$$x=9$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-45±27}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 27 luvusta -45.

$$x=-\frac{72}{-2}$$

Jaa -72 luvulla -2.

$$x=36$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=9 x=36$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+45x-200=124$$

Lisää 200 yhtälön kummallekin puolelle.

$$-x^{2}+45x-200-\left(-200\right)=124-\left(-200\right)$$

Kun luku -200 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-x^{2}+45x=124-\left(-200\right)$$

Vähennä -200 luvusta 124.

$$-x^{2}+45x=324$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+45x}{-1}=\frac{324}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{45}{-1}x=\frac{324}{-1}$$

Jaa 45 luvulla -1.

$$x^{2}-45x=\frac{324}{-1}$$

Jaa 324 luvulla -1.

$$x^{2}-45x=-324$$

Jaa -45 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{45}{2}. Lisää sitten -\frac{45}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-45x+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}=-324+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{45}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=-324+\frac{2025}{4}$$

Lisää -324 lukuun \frac{2025}{4}.

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=\frac{729}{4}$$

Jaa x^{2}-45x+\frac{2025}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{45}{2}=\frac{27}{2} x-\frac{45}{2}=-\frac{27}{2}$$

Lisää \frac{45}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=36 x=9$$