Ratkaise -left(4y+1right)^2-4(2y^2-1-0y)*2=0

$$- { \left(4y+1 \right) }^{ 2 } -4(2 { y }^{ 2 } -1-0y) \times 2=0$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y=\frac{\sqrt{15}-1}{8}\approx 0,359122918$$

$$y=\frac{-\sqrt{15}-1}{8}\approx -0,609122918$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(4y+1\right)^{2} laajentamiseen.

$$-\left(16y^{2}+8y+1\right)-4\left(2y^{2}-1-0y\right)\times 2=0$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen 16y^{2}+8y+1 vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$-16y^{2}-8y-1-4\left(2y^{2}-1-0y\right)\times 2=0$$

Nolla kertaa mikä tahansa luku on nolla.

$$-16y^{2}-8y-1-4\left(2y^{2}-1-0\right)\times 2=0$$

Kerro 4 ja 2, niin saadaan 8.

$$-16y^{2}-8y-1-8\left(2y^{2}-1-0\right)=0$$

Järjestä termit uudelleen.

$$-16y^{2}-8y-1-8\left(2y^{2}-1\right)=0$$

Laske lukujen -8 ja 2y^{2}-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$-16y^{2}-8y-1-16y^{2}+8=0$$

Selvitä -32y^{2} yhdistämällä -16y^{2} ja -16y^{2}.

$$-32y^{2}-8y-1+8=0$$

Selvitä 7 laskemalla yhteen -1 ja 8.

$$-32y^{2}-8y+7=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -32, b luvulla -8 ja c luvulla 7 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-32\right)\times 7}}{2\left(-32\right)}$$

Korota -8 neliöön.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-32\right)\times 7}}{2\left(-32\right)}$$

Kerro -4 ja -32.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+128\times 7}}{2\left(-32\right)}$$

Kerro 128 ja 7.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+896}}{2\left(-32\right)}$$

Lisää 64 lukuun 896.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{960}}{2\left(-32\right)}$$

Ota luvun 960 neliöjuuri.

$$y=\frac{-\left(-8\right)±8\sqrt{15}}{2\left(-32\right)}$$

Luvun -8 vastaluku on 8.

$$y=\frac{8±8\sqrt{15}}{2\left(-32\right)}$$

Kerro 2 ja -32.

$$y=\frac{8±8\sqrt{15}}{-64}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{8±8\sqrt{15}}{-64}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 8 lukuun 8\sqrt{15}.

$$y=\frac{8\sqrt{15}+8}{-64}$$

Jaa 8+8\sqrt{15} luvulla -64.

$$y=\frac{-\sqrt{15}-1}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{8±8\sqrt{15}}{-64}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8\sqrt{15} luvusta 8.

$$y=\frac{8-8\sqrt{15}}{-64}$$

Jaa 8-8\sqrt{15} luvulla -64.

$$y=\frac{\sqrt{15}-1}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=\frac{-\sqrt{15}-1}{8} y=\frac{\sqrt{15}-1}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(4y+1\right)^{2} laajentamiseen.

$$-\left(16y^{2}+8y+1\right)-4\left(2y^{2}-1-0y\right)\times 2=0$$

Jos haluat ratkaista lausekkeen 16y^{2}+8y+1 vastaluvun, ratkaise sen kunkin termin vastaluku.

$$-16y^{2}-8y-1-4\left(2y^{2}-1-0y\right)\times 2=0$$

Nolla kertaa mikä tahansa luku on nolla.

$$-16y^{2}-8y-1-4\left(2y^{2}-1-0\right)\times 2=0$$

Kerro 4 ja 2, niin saadaan 8.

$$-16y^{2}-8y-1-8\left(2y^{2}-1-0\right)=0$$

Järjestä termit uudelleen.

$$-16y^{2}-8y-1-8\left(2y^{2}-1\right)=0$$

Laske lukujen -8 ja 2y^{2}-1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$-16y^{2}-8y-1-16y^{2}+8=0$$

Selvitä -32y^{2} yhdistämällä -16y^{2} ja -16y^{2}.

$$-32y^{2}-8y-1+8=0$$

Selvitä 7 laskemalla yhteen -1 ja 8.

$$-32y^{2}-8y+7=0$$

Vähennä 7 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$-32y^{2}-8y=-7$$

Jaa molemmat puolet luvulla -32.

$$\frac{-32y^{2}-8y}{-32}=-\frac{7}{-32}$$

Jakaminen luvulla -32 kumoaa kertomisen luvulla -32.

$$y^{2}+\left(-\frac{8}{-32}\right)y=-\frac{7}{-32}$$

Supista murtoluku \frac{-8}{-32} luvulla 8.

$$y^{2}+\frac{1}{4}y=-\frac{7}{-32}$$

Jaa -7 luvulla -32.

$$y^{2}+\frac{1}{4}y=\frac{7}{32}$$

Jaa \frac{1}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{8}. Lisää sitten \frac{1}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}+\frac{1}{4}y+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{7}{32}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$y^{2}+\frac{1}{4}y+\frac{1}{64}=\frac{7}{32}+\frac{1}{64}$$

Lisää \frac{7}{32} lukuun \frac{1}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$y^{2}+\frac{1}{4}y+\frac{1}{64}=\frac{15}{64}$$

Jaa y^{2}+\frac{1}{4}y+\frac{1}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{15}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{15}{64}}$$

Sievennä.

$$y+\frac{1}{8}=\frac{\sqrt{15}}{8} y+\frac{1}{8}=-\frac{\sqrt{15}}{8}$$

Vähennä \frac{1}{8} yhtälön molemmilta puolilta.

$$y=\frac{\sqrt{15}-1}{8} y=\frac{-\sqrt{15}-1}{8}$$