Ratkaise -1/5x^2+3x+16/5=0

$$- \frac{ 1 }{ 5 } { x }^{ 2 } +3x+ \frac{ 16 }{ 5 } =0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-1$$

$$x=16$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x+\frac{16}{5}=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -\frac{1}{5}, b luvulla 3 ja c luvulla \frac{16}{5} toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-\frac{1}{5}\right)\times \frac{16}{5}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-\frac{1}{5}\right)\times \frac{16}{5}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Kerro -4 ja -\frac{1}{5}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+\frac{4}{5}\times \frac{16}{5}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Kerro \frac{4}{5} ja \frac{16}{5} kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+\frac{64}{25}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Lisää 9 lukuun \frac{64}{25}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{\frac{289}{25}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Ota luvun \frac{289}{25} neliöjuuri.

$$x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

Kerro 2 ja -\frac{1}{5}.

$$x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{-\frac{2}{5}}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{-\frac{2}{5}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun \frac{17}{5}.

$$x=\frac{\frac{2}{5}}{-\frac{2}{5}}$$

Jaa \frac{2}{5} luvulla -\frac{2}{5} kertomalla \frac{2}{5} luvun -\frac{2}{5} käänteisluvulla.

$$x=-1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{-\frac{2}{5}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{17}{5} luvusta -3.

$$x=-\frac{\frac{32}{5}}{-\frac{2}{5}}$$

Jaa -\frac{32}{5} luvulla -\frac{2}{5} kertomalla -\frac{32}{5} luvun -\frac{2}{5} käänteisluvulla.

$$x=16$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-1 x=16$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x+\frac{16}{5}=0$$

Vähennä \frac{16}{5} yhtälön molemmilta puolilta.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x+\frac{16}{5}-\frac{16}{5}=-\frac{16}{5}$$

Kun luku \frac{16}{5} vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x=-\frac{16}{5}$$

Kerro molemmat puolet luvulla -5.

$$\frac{-\frac{1}{5}x^{2}+3x}{-\frac{1}{5}}=-\frac{\frac{16}{5}}{-\frac{1}{5}}$$

Jakaminen luvulla -\frac{1}{5} kumoaa kertomisen luvulla -\frac{1}{5}.

$$x^{2}+\frac{3}{-\frac{1}{5}}x=-\frac{\frac{16}{5}}{-\frac{1}{5}}$$

Jaa 3 luvulla -\frac{1}{5} kertomalla 3 luvun -\frac{1}{5} käänteisluvulla.

$$x^{2}-15x=-\frac{\frac{16}{5}}{-\frac{1}{5}}$$

Jaa -\frac{16}{5} luvulla -\frac{1}{5} kertomalla -\frac{16}{5} luvun -\frac{1}{5} käänteisluvulla.

$$x^{2}-15x=16$$

Jaa -15 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{15}{2}. Lisää sitten -\frac{15}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=16+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{15}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=16+\frac{225}{4}$$

Lisää 16 lukuun \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{289}{4}$$

Jaa x^{2}-15x+\frac{225}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{17}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{17}{2}$$

Lisää \frac{15}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=16 x=-1$$