Ratkaise -1/3x+x^2+1=0

$$- \frac{ 1 }{ 3 } x+ { x }^{ 2 } +1=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{6}\approx 0,166666667+0,986013297i$$

$$x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{6}\approx 0,166666667-0,986013297i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 1, b luvulla -\frac{1}{3} ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{3}\right)±\sqrt{\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}-4}}{2}$$

Korota -\frac{1}{3} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{3}\right)±\sqrt{\frac{1}{9}-4}}{2}$$

Lisää \frac{1}{9} lukuun -4.

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{3}\right)±\sqrt{-\frac{35}{9}}}{2}$$

Ota luvun -\frac{35}{9} neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{3}\right)±\frac{\sqrt{35}i}{3}}{2}$$

Luvun -\frac{1}{3} vastaluku on \frac{1}{3}.

$$x=\frac{\frac{1}{3}±\frac{\sqrt{35}i}{3}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{1}{3}±\frac{\sqrt{35}i}{3}}{2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää \frac{1}{3} lukuun \frac{i\sqrt{35}}{3}.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{2\times 3}$$

Jaa \frac{1+i\sqrt{35}}{3} luvulla 2.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{1}{3}±\frac{\sqrt{35}i}{3}}{2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{i\sqrt{35}}{3} luvusta \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{2\times 3}$$

Jaa \frac{1-i\sqrt{35}}{3} luvulla 2.

$$x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{6}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{6} x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{6}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+1=0$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+1-1=-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=-1$$

Jaa -\frac{1}{3} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{6}. Lisää sitten -\frac{1}{6}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{6} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-1+\frac{1}{36}$$

Lisää -1 lukuun \frac{1}{36}.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=-\frac{35}{36}$$

Jaa x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=-\frac{35}{36}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{35}{36}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{35}i}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{35}i}{6}$$

Lisää \frac{1}{6} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{6} x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{6}$$