Ratkaise -2/3t^2+3t=3

$$- \frac { 2 } { 3 } t ^ { 2 } + 3 t = 3$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t=3$$

$$t = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-\frac{2}{3}t^{2}+3t=3$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-\frac{2}{3}t^{2}+3t-3=3-3$$

Kun luku 3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-\frac{2}{3}t^{2}+3t-3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -\frac{2}{3}, b luvulla 3 ja c luvulla -3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-\frac{2}{3}\right)\left(-3\right)}}{2\left(-\frac{2}{3}\right)}$$

Korota 3 neliöön.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-\frac{2}{3}\right)\left(-3\right)}}{2\left(-\frac{2}{3}\right)}$$

Kerro -4 ja -\frac{2}{3}.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9+\frac{8}{3}\left(-3\right)}}{2\left(-\frac{2}{3}\right)}$$

Kerro \frac{8}{3} ja -3.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-8}}{2\left(-\frac{2}{3}\right)}$$

Lisää 9 lukuun -8.

$$t=\frac{-3±\sqrt{1}}{2\left(-\frac{2}{3}\right)}$$

Ota luvun 1 neliöjuuri.

$$t=\frac{-3±1}{2\left(-\frac{2}{3}\right)}$$

Kerro 2 ja -\frac{2}{3}.

$$t=\frac{-3±1}{-\frac{4}{3}}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-3±1}{-\frac{4}{3}}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun 1.

$$t=-\frac{2}{-\frac{4}{3}}$$

Jaa -2 luvulla -\frac{4}{3} kertomalla -2 luvun -\frac{4}{3} käänteisluvulla.

$$t=\frac{3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-3±1}{-\frac{4}{3}}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 1 luvusta -3.

$$t=-\frac{4}{-\frac{4}{3}}$$

Jaa -4 luvulla -\frac{4}{3} kertomalla -4 luvun -\frac{4}{3} käänteisluvulla.

$$t=3$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\frac{3}{2} t=3$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-\frac{2}{3}t^{2}+3t=3$$

Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla -\frac{2}{3}, mikä on sama kuin kummankin puolen kertominen murtoluvun käänteisluvulla.

$$\frac{-\frac{2}{3}t^{2}+3t}{-\frac{2}{3}}=\frac{3}{-\frac{2}{3}}$$

Jakaminen luvulla -\frac{2}{3} kumoaa kertomisen luvulla -\frac{2}{3}.

$$t^{2}+\frac{3}{-\frac{2}{3}}t=\frac{3}{-\frac{2}{3}}$$

Jaa 3 luvulla -\frac{2}{3} kertomalla 3 luvun -\frac{2}{3} käänteisluvulla.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t=\frac{3}{-\frac{2}{3}}$$

Jaa 3 luvulla -\frac{2}{3} kertomalla 3 luvun -\frac{2}{3} käänteisluvulla.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t=-\frac{9}{2}$$

Jaa -\frac{9}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{4}. Lisää sitten -\frac{9}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t+\frac{81}{16}=-\frac{9}{2}+\frac{81}{16}$$

Lisää -\frac{9}{2} lukuun \frac{81}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t+\frac{81}{16}=\frac{9}{16}$$

Jaa t^{2}-\frac{9}{2}t+\frac{81}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Sievennä.

$$t-\frac{9}{4}=\frac{3}{4} t-\frac{9}{4}=-\frac{3}{4}$$

Lisää \frac{9}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=3 t=\frac{3}{2}$$