Ratkaise -1/3(x+2)(x-1/3)>0

$$- \frac { 1 } { 3 } ( x + 2 ) ( x - \frac { 1 } { 3 } ) > 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen -\frac{1}{3} ja x+2 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\left(-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)>0$$

Laske lukujen -\frac{1}{3}x-\frac{2}{3} ja x-\frac{1}{3} tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$-\frac{1}{3}x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{2}{9}>0$$

Kerro epäyhtälö arvolla -1, jolloin yhtälön -\frac{1}{3}x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{2}{9} korkeimman eksponentin kerroin on positiivinen. Koska -1 on negatiivinen, epäyhtälö suunta muuttuu.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{5}{9}x-\frac{2}{9}<0$$

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{5}{9}x-\frac{2}{9}=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan \frac{1}{3} tilalle a, muuttujan \frac{5}{9} tilalle b ja muuttujan -\frac{2}{9} tilalle c.

$$x=\frac{-\frac{5}{9}±\sqrt{\left(\frac{5}{9}\right)^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{2}{9}\right)}}{\frac{1}{3}\times 2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{-\frac{5}{9}±\frac{7}{9}}{\frac{2}{3}}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{-\frac{5}{9}±\frac{7}{9}}{\frac{2}{3}} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=\frac{1}{3} x=-2$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$\frac{1}{3}\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+2\right)<0$$

Jotta tulo on negatiivinen, arvoilla x-\frac{1}{3} ja x+2 on oltava päinvastaiset etumerkit. Tarkastele tapausta, jossa x-\frac{1}{3} on positiivinen ja x+2 on negatiivinen.

$$x-\frac{1}{3}>0 x+2<0$$

Tämä on epätosi kaikilla x:n arvoilla.

$$x\in \emptyset$$

Tarkastele tapausta, jossa x+2 on positiivinen ja x-\frac{1}{3} on negatiivinen.

$$x+2>0 x-\frac{1}{3}<0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right).

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$