Ratkaise -1/2x^2-3/2x+4=0

$$- \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - \frac { 3 } { 2 } x + 4 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{41} - 3}{2} \approx 1,701562119$$

$$x=\frac{-\sqrt{41}-3}{2}\approx -4,701562119$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x+4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -\frac{1}{2}, b luvulla -\frac{3}{2} ja c luvulla 4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{2}\right)\times 4}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\frac{9}{4}-4\left(-\frac{1}{2}\right)\times 4}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Kerro -4 ja -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\frac{9}{4}+2\times 4}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\frac{9}{4}+8}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Lisää \frac{9}{4} lukuun 8.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\sqrt{\frac{41}{4}}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Ota luvun \frac{41}{4} neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-\frac{3}{2}\right)±\frac{\sqrt{41}}{2}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Luvun -\frac{3}{2} vastaluku on \frac{3}{2}.

$$x=\frac{\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{41}}{2}}{2\left(-\frac{1}{2}\right)}$$

Kerro 2 ja -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{41}}{2}}{-1}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{41}}{2}}{-1}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää \frac{3}{2} lukuun \frac{\sqrt{41}}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{-2}$$

Jaa \frac{3+\sqrt{41}}{2} luvulla -1.

$$x=\frac{-\sqrt{41}-3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{\frac{3}{2}±\frac{\sqrt{41}}{2}}{-1}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \frac{\sqrt{41}}{2} luvusta \frac{3}{2}.

$$x=\frac{3-\sqrt{41}}{-2}$$

Jaa \frac{3-\sqrt{41}}{2} luvulla -1.

$$x=\frac{\sqrt{41}-3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{41}-3}{2} x=\frac{\sqrt{41}-3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x+4=0$$

Vähennä 4 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x+4-4=-4$$

Kun luku 4 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x=-4$$

Kerro molemmat puolet luvulla -2.

$$\frac{-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x}{-\frac{1}{2}}=-\frac{4}{-\frac{1}{2}}$$

Jakaminen luvulla -\frac{1}{2} kumoaa kertomisen luvulla -\frac{1}{2}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}\right)x=-\frac{4}{-\frac{1}{2}}$$

Jaa -\frac{3}{2} luvulla -\frac{1}{2} kertomalla -\frac{3}{2} luvun -\frac{1}{2} käänteisluvulla.

$$x^{2}+3x=-\frac{4}{-\frac{1}{2}}$$

Jaa -4 luvulla -\frac{1}{2} kertomalla -4 luvun -\frac{1}{2} käänteisluvulla.

$$x^{2}+3x=8$$

Jaa 3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{2}. Lisää sitten \frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=8+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=8+\frac{9}{4}$$

Lisää 8 lukuun \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{41}{4}$$

Jaa x^{2}+3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{41}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{41}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{41}}{2}$$

Vähennä \frac{3}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{41}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{41}-3}{2}$$