Ratkaise (7-2x)(x-2)=112

$$(7-2x)(x-2)=112$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{887}i+11}{4}\approx 2,75-7,445636306i$$

$$x=\frac{11+\sqrt{887}i}{4}\approx 2,75+7,445636306i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 7-2x ja x-2 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$11x-14-2x^{2}=112$$

Vähennä 112 molemmilta puolilta.

$$11x-14-2x^{2}-112=0$$

Vähennä 112 luvusta -14 saadaksesi tuloksen -126.

$$11x-126-2x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-2x^{2}+11x-126=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -2, b luvulla 11 ja c luvulla -126 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-2\right)\left(-126\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Korota 11 neliöön.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-2\right)\left(-126\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro -4 ja -2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+8\left(-126\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 8 ja -126.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-1008}}{2\left(-2\right)}$$

Lisää 121 lukuun -1008.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-887}}{2\left(-2\right)}$$

Ota luvun -887 neliöjuuri.

$$x=\frac{-11±\sqrt{887}i}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 2 ja -2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{887}i}{-4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-11±\sqrt{887}i}{-4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -11 lukuun i\sqrt{887}.

$$x=\frac{-11+\sqrt{887}i}{-4}$$

Jaa -11+i\sqrt{887} luvulla -4.

$$x=\frac{-\sqrt{887}i+11}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-11±\sqrt{887}i}{-4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{887} luvusta -11.

$$x=\frac{-\sqrt{887}i-11}{-4}$$

Jaa -11-i\sqrt{887} luvulla -4.

$$x=\frac{11+\sqrt{887}i}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{887}i+11}{4} x=\frac{11+\sqrt{887}i}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 7-2x ja x-2 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$11x-14-2x^{2}=112$$

Lisää 14 molemmille puolille.

$$11x-2x^{2}=112+14$$

Selvitä 126 laskemalla yhteen 112 ja 14.

$$11x-2x^{2}=126$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+11x=126$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2.

$$\frac{-2x^{2}+11x}{-2}=\frac{126}{-2}$$

Jakaminen luvulla -2 kumoaa kertomisen luvulla -2.

$$x^{2}+\frac{11}{-2}x=\frac{126}{-2}$$

Jaa 11 luvulla -2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{126}{-2}$$

Jaa 126 luvulla -2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-63$$

Jaa -\frac{11}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{11}{4}. Lisää sitten -\frac{11}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-63+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{11}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-63+\frac{121}{16}$$

Lisää -63 lukuun \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{887}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{887}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{887}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{887}i}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{887}i}{4}$$

Lisää \frac{11}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{11+\sqrt{887}i}{4} x=\frac{-\sqrt{887}i+11}{4}$$