Ratkaise (25-2x+1)x=80

$$(25-2x+1)x=80$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=5$$

$$x=8$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Selvitä 26 laskemalla yhteen 25 ja 1.

$$\left(26-2x\right)x=80$$

Laske lukujen 26-2x ja x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$26x-2x^{2}=80$$

Vähennä 80 molemmilta puolilta.

$$26x-2x^{2}-80=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-2x^{2}+26x-80=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -2, b luvulla 26 ja c luvulla -80 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-26±\sqrt{26^{2}-4\left(-2\right)\left(-80\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Korota 26 neliöön.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676-4\left(-2\right)\left(-80\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro -4 ja -2.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676+8\left(-80\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 8 ja -80.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676-640}}{2\left(-2\right)}$$

Lisää 676 lukuun -640.

$$x=\frac{-26±\sqrt{36}}{2\left(-2\right)}$$

Ota luvun 36 neliöjuuri.

$$x=\frac{-26±6}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 2 ja -2.

$$x=\frac{-26±6}{-4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-26±6}{-4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -26 lukuun 6.

$$x=-\frac{20}{-4}$$

Jaa -20 luvulla -4.

$$x=5$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-26±6}{-4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6 luvusta -26.

$$x=-\frac{32}{-4}$$

Jaa -32 luvulla -4.

$$x=8$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=5 x=8$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Selvitä 26 laskemalla yhteen 25 ja 1.

$$\left(26-2x\right)x=80$$

Laske lukujen 26-2x ja x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$26x-2x^{2}=80$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+26x=80$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2.

$$\frac{-2x^{2}+26x}{-2}=\frac{80}{-2}$$

Jakaminen luvulla -2 kumoaa kertomisen luvulla -2.

$$x^{2}+\frac{26}{-2}x=\frac{80}{-2}$$

Jaa 26 luvulla -2.

$$x^{2}-13x=\frac{80}{-2}$$

Jaa 80 luvulla -2.

$$x^{2}-13x=-40$$

Jaa -13 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{13}{2}. Lisää sitten -\frac{13}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-40+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{13}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-40+\frac{169}{4}$$

Lisää -40 lukuun \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{9}{4}$$

Jaa x^{2}-13x+\frac{169}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{3}{2}$$

Lisää \frac{13}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=8 x=5$$