Ratkaise (200-x)(300-5x)=32000

$$(200-x)(300-5x)=32000$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=10\sqrt{113}+130\approx 236,301458127$$

$$x=130-10\sqrt{113}\approx 23,698541873$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 200-x ja 300-5x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$60000-1300x+5x^{2}=32000$$

Vähennä 32000 molemmilta puolilta.

$$60000-1300x+5x^{2}-32000=0$$

Vähennä 32000 luvusta 60000 saadaksesi tuloksen 28000.

$$28000-1300x+5x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}-1300x+28000=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -1300 ja c luvulla 28000 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1300\right)±\sqrt{\left(-1300\right)^{2}-4\times 5\times 28000}}{2\times 5}$$

Korota -1300 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-1300\right)±\sqrt{1690000-4\times 5\times 28000}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-1300\right)±\sqrt{1690000-20\times 28000}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja 28000.

$$x=\frac{-\left(-1300\right)±\sqrt{1690000-560000}}{2\times 5}$$

Lisää 1690000 lukuun -560000.

$$x=\frac{-\left(-1300\right)±\sqrt{1130000}}{2\times 5}$$

Ota luvun 1130000 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-1300\right)±100\sqrt{113}}{2\times 5}$$

Luvun -1300 vastaluku on 1300.

$$x=\frac{1300±100\sqrt{113}}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{1300±100\sqrt{113}}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1300±100\sqrt{113}}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1300 lukuun 100\sqrt{113}.

$$x=\frac{100\sqrt{113}+1300}{10}$$

Jaa 1300+100\sqrt{113} luvulla 10.

$$x=10\sqrt{113}+130$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1300±100\sqrt{113}}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 100\sqrt{113} luvusta 1300.

$$x=\frac{1300-100\sqrt{113}}{10}$$

Jaa 1300-100\sqrt{113} luvulla 10.

$$x=130-10\sqrt{113}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=10\sqrt{113}+130 x=130-10\sqrt{113}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 200-x ja 300-5x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$60000-1300x+5x^{2}=32000$$

Vähennä 60000 molemmilta puolilta.

$$-1300x+5x^{2}=32000-60000$$

Vähennä 60000 luvusta 32000 saadaksesi tuloksen -28000.

$$-1300x+5x^{2}=-28000$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-1300x=-28000$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-1300x}{5}=-\frac{28000}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{1300}{5}\right)x=-\frac{28000}{5}$$

Jaa -1300 luvulla 5.

$$x^{2}-260x=-\frac{28000}{5}$$

Jaa -28000 luvulla 5.

$$x^{2}-260x=-5600$$

Jaa -260 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -130. Lisää sitten -130:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-260x+\left(-130\right)^{2}=-5600+\left(-130\right)^{2}$$

Korota -130 neliöön.

$$x^{2}-260x+16900=-5600+16900$$

Lisää -5600 lukuun 16900.

$$x^{2}-260x+16900=11300$$

Jaa x^{2}-260x+16900 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-130\right)^{2}=11300$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-130\right)^{2}}=\sqrt{11300}$$

Sievennä.

$$x-130=10\sqrt{113} x-130=-10\sqrt{113}$$

Lisää 130 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=10\sqrt{113}+130 x=130-10\sqrt{113}$$