Ratkaise (16-2x)(9-x)=112

$$(16-2x)(9-x)=112$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=1$$

$$x=16$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 16-2x ja 9-x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$144-34x+2x^{2}=112$$

Vähennä 112 molemmilta puolilta.

$$144-34x+2x^{2}-112=0$$

Vähennä 112 luvusta 144 saadaksesi tuloksen 32.

$$32-34x+2x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}-34x+32=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla -34 ja c luvulla 32 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{\left(-34\right)^{2}-4\times 2\times 32}}{2\times 2}$$

Korota -34 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-4\times 2\times 32}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-8\times 32}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja 32.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-256}}{2\times 2}$$

Lisää 1156 lukuun -256.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{900}}{2\times 2}$$

Ota luvun 900 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±30}{2\times 2}$$

Luvun -34 vastaluku on 34.

$$x=\frac{34±30}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{34±30}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{34±30}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 34 lukuun 30.

$$x=\frac{64}{4}$$

Jaa 64 luvulla 4.

$$x=16$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{34±30}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 30 luvusta 34.

$$x=\frac{4}{4}$$

Jaa 4 luvulla 4.

$$x=1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=16 x=1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 16-2x ja 9-x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$144-34x+2x^{2}=112$$

Vähennä 144 molemmilta puolilta.

$$-34x+2x^{2}=112-144$$

Vähennä 144 luvusta 112 saadaksesi tuloksen -32.

$$-34x+2x^{2}=-32$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-34x=-32$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}-34x}{2}=-\frac{32}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{34}{2}\right)x=-\frac{32}{2}$$

Jaa -34 luvulla 2.

$$x^{2}-17x=-\frac{32}{2}$$

Jaa -32 luvulla 2.

$$x^{2}-17x=-16$$

Jaa -17 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{17}{2}. Lisää sitten -\frac{17}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-16+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{17}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-16+\frac{289}{4}$$

Lisää -16 lukuun \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{225}{4}$$

Jaa x^{2}-17x+\frac{289}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{15}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{15}{2}$$

Lisää \frac{17}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=16 x=1$$