Ratkaise (1000-5x)(x-100)=32000

$$(1000-5x)(x-100)=32000$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=150+10\sqrt{39}i\approx 150+62,449979984i$$

$$x=-10\sqrt{39}i+150\approx 150-62,449979984i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 1000-5x ja x-100 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$1500x-100000-5x^{2}=32000$$

Vähennä 32000 molemmilta puolilta.

$$1500x-100000-5x^{2}-32000=0$$

Vähennä 32000 luvusta -100000 saadaksesi tuloksen -132000.

$$1500x-132000-5x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-5x^{2}+1500x-132000=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -5, b luvulla 1500 ja c luvulla -132000 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1500±\sqrt{1500^{2}-4\left(-5\right)\left(-132000\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Korota 1500 neliöön.

$$x=\frac{-1500±\sqrt{2250000-4\left(-5\right)\left(-132000\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Kerro -4 ja -5.

$$x=\frac{-1500±\sqrt{2250000+20\left(-132000\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Kerro 20 ja -132000.

$$x=\frac{-1500±\sqrt{2250000-2640000}}{2\left(-5\right)}$$

Lisää 2250000 lukuun -2640000.

$$x=\frac{-1500±\sqrt{-390000}}{2\left(-5\right)}$$

Ota luvun -390000 neliöjuuri.

$$x=\frac{-1500±100\sqrt{39}i}{2\left(-5\right)}$$

Kerro 2 ja -5.

$$x=\frac{-1500±100\sqrt{39}i}{-10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1500±100\sqrt{39}i}{-10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1500 lukuun 100i\sqrt{39}.

$$x=\frac{-1500+100\sqrt{39}i}{-10}$$

Jaa -1500+100i\sqrt{39} luvulla -10.

$$x=-10\sqrt{39}i+150$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-1500±100\sqrt{39}i}{-10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 100i\sqrt{39} luvusta -1500.

$$x=\frac{-100\sqrt{39}i-1500}{-10}$$

Jaa -1500-100i\sqrt{39} luvulla -10.

$$x=150+10\sqrt{39}i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-10\sqrt{39}i+150 x=150+10\sqrt{39}i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 1000-5x ja x-100 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$1500x-100000-5x^{2}=32000$$

Lisää 100000 molemmille puolille.

$$1500x-5x^{2}=32000+100000$$

Selvitä 132000 laskemalla yhteen 32000 ja 100000.

$$1500x-5x^{2}=132000$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+1500x=132000$$

Jaa molemmat puolet luvulla -5.

$$\frac{-5x^{2}+1500x}{-5}=\frac{132000}{-5}$$

Jakaminen luvulla -5 kumoaa kertomisen luvulla -5.

$$x^{2}+\frac{1500}{-5}x=\frac{132000}{-5}$$

Jaa 1500 luvulla -5.

$$x^{2}-300x=\frac{132000}{-5}$$

Jaa 132000 luvulla -5.

$$x^{2}-300x=-26400$$

Jaa -300 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -150. Lisää sitten -150:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-300x+\left(-150\right)^{2}=-26400+\left(-150\right)^{2}$$

Korota -150 neliöön.

$$x^{2}-300x+22500=-26400+22500$$

Lisää -26400 lukuun 22500.

$$x^{2}-300x+22500=-3900$$

Jaa x^{2}-300x+22500 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-150\right)^{2}=-3900$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-150\right)^{2}}=\sqrt{-3900}$$

Sievennä.

$$x-150=10\sqrt{39}i x-150=-10\sqrt{39}i$$

Lisää 150 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=150+10\sqrt{39}i x=-10\sqrt{39}i+150$$