Ratkaise (100-x)(1300-5x)=32000

$$(100-x)(1300-5x)=32000$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=80\sqrt{2}+180\approx 293,13708499$$

$$x=180-80\sqrt{2}\approx 66,86291501$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 100-x ja 1300-5x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$130000-1800x+5x^{2}=32000$$

Vähennä 32000 molemmilta puolilta.

$$130000-1800x+5x^{2}-32000=0$$

Vähennä 32000 luvusta 130000 saadaksesi tuloksen 98000.

$$98000-1800x+5x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$5x^{2}-1800x+98000=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 5, b luvulla -1800 ja c luvulla 98000 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{\left(-1800\right)^{2}-4\times 5\times 98000}}{2\times 5}$$

Korota -1800 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{3240000-4\times 5\times 98000}}{2\times 5}$$

Kerro -4 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{3240000-20\times 98000}}{2\times 5}$$

Kerro -20 ja 98000.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{3240000-1960000}}{2\times 5}$$

Lisää 3240000 lukuun -1960000.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±\sqrt{1280000}}{2\times 5}$$

Ota luvun 1280000 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-1800\right)±800\sqrt{2}}{2\times 5}$$

Luvun -1800 vastaluku on 1800.

$$x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{2\times 5}$$

Kerro 2 ja 5.

$$x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1800 lukuun 800\sqrt{2}.

$$x=\frac{800\sqrt{2}+1800}{10}$$

Jaa 1800+800\sqrt{2} luvulla 10.

$$x=80\sqrt{2}+180$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{1800±800\sqrt{2}}{10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 800\sqrt{2} luvusta 1800.

$$x=\frac{1800-800\sqrt{2}}{10}$$

Jaa 1800-800\sqrt{2} luvulla 10.

$$x=180-80\sqrt{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=80\sqrt{2}+180 x=180-80\sqrt{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 100-x ja 1300-5x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$130000-1800x+5x^{2}=32000$$

Vähennä 130000 molemmilta puolilta.

$$-1800x+5x^{2}=32000-130000$$

Vähennä 130000 luvusta 32000 saadaksesi tuloksen -98000.

$$-1800x+5x^{2}=-98000$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-1800x=-98000$$

Jaa molemmat puolet luvulla 5.

$$\frac{5x^{2}-1800x}{5}=-\frac{98000}{5}$$

Jakaminen luvulla 5 kumoaa kertomisen luvulla 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{1800}{5}\right)x=-\frac{98000}{5}$$

Jaa -1800 luvulla 5.

$$x^{2}-360x=-\frac{98000}{5}$$

Jaa -98000 luvulla 5.

$$x^{2}-360x=-19600$$

Jaa -360 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -180. Lisää sitten -180:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-360x+\left(-180\right)^{2}=-19600+\left(-180\right)^{2}$$

Korota -180 neliöön.

$$x^{2}-360x+32400=-19600+32400$$

Lisää -19600 lukuun 32400.

$$x^{2}-360x+32400=12800$$

Jaa x^{2}-360x+32400 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-180\right)^{2}=12800$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-180\right)^{2}}=\sqrt{12800}$$

Sievennä.

$$x-180=80\sqrt{2} x-180=-80\sqrt{2}$$

Lisää 180 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=80\sqrt{2}+180 x=180-80\sqrt{2}$$