Ratkaise (10-2x)x=14

$$(10-2x)x=14$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{3}i}{2}\approx 2,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+5}{2}\approx 2,5-0,866025404i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 10-2x ja x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$10x-2x^{2}=14$$

Vähennä 14 molemmilta puolilta.

$$10x-2x^{2}-14=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-2x^{2}+10x-14=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -2, b luvulla 10 ja c luvulla -14 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-2\right)\left(-14\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Korota 10 neliöön.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-2\right)\left(-14\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro -4 ja -2.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+8\left(-14\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 8 ja -14.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-112}}{2\left(-2\right)}$$

Lisää 100 lukuun -112.

$$x=\frac{-10±\sqrt{-12}}{2\left(-2\right)}$$

Ota luvun -12 neliöjuuri.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{3}i}{2\left(-2\right)}$$

Kerro 2 ja -2.

$$x=\frac{-10±2\sqrt{3}i}{-4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-10±2\sqrt{3}i}{-4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -10 lukuun 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-10+2\sqrt{3}i}{-4}$$

Jaa -10+2i\sqrt{3} luvulla -4.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+5}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-10±2\sqrt{3}i}{-4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{3} luvusta -10.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-10}{-4}$$

Jaa -10-2i\sqrt{3} luvulla -4.

$$x=\frac{5+\sqrt{3}i}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{3}i}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 10-2x ja x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$10x-2x^{2}=14$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+10x=14$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2.

$$\frac{-2x^{2}+10x}{-2}=\frac{14}{-2}$$

Jakaminen luvulla -2 kumoaa kertomisen luvulla -2.

$$x^{2}+\frac{10}{-2}x=\frac{14}{-2}$$

Jaa 10 luvulla -2.

$$x^{2}-5x=\frac{14}{-2}$$

Jaa 14 luvulla -2.

$$x^{2}-5x=-7$$

Jaa -5 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{2}. Lisää sitten -\frac{5}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-7+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-7+\frac{25}{4}$$

Lisää -7 lukuun \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{3}{4}$$

Jaa x^{2}-5x+\frac{25}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Lisää \frac{5}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i+5}{2}$$