Ratkaise (-y^2+3y+5=0)

$$(- { y }^{ 2 } +3y+5=0)$$

Ratkaise muuttujan y suhteen

$$y = \frac{\sqrt{29} + 3}{2} \approx 4,192582404$$

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}\approx -1,192582404$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-y^{2}+3y+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 3 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 3 neliöön.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja 5.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+20}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 9 lukuun 20.

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun \sqrt{29}.

$$y=\frac{\sqrt{29}-3}{-2}$$

Jaa -3+\sqrt{29} luvulla -2.

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{29} luvusta -3.

$$y=\frac{-\sqrt{29}-3}{-2}$$

Jaa -3-\sqrt{29} luvulla -2.

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2} y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-y^{2}+3y+5=0$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-y^{2}+3y+5-5=-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-y^{2}+3y=-5$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-y^{2}+3y}{-1}=-\frac{5}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$y^{2}+\frac{3}{-1}y=-\frac{5}{-1}$$

Jaa 3 luvulla -1.

$$y^{2}-3y=-\frac{5}{-1}$$

Jaa -5 luvulla -1.

$$y^{2}-3y=5$$

Jaa -3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{2}. Lisää sitten -\frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$y^{2}-3y+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=5+\frac{9}{4}$$

Lisää 5 lukuun \frac{9}{4}.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=\frac{29}{4}$$

Jaa y^{2}-3y+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{29}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{4}}$$

Sievennä.

$$y-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{29}}{2} y-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{29}}{2}$$

Lisää \frac{3}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2} y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$