Ratkaise (x-40)(500-10x)=8000

$$( x - 40 ) ( 500 - 10 x ) = 8000$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=45+5\sqrt{31}i\approx 45+27,838821814i$$

$$x=-5\sqrt{31}i+45\approx 45-27,838821814i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen x-40 ja 500-10x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$900x-10x^{2}-20000=8000$$

Vähennä 8000 molemmilta puolilta.

$$900x-10x^{2}-20000-8000=0$$

Vähennä 8000 luvusta -20000 saadaksesi tuloksen -28000.

$$900x-10x^{2}-28000=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-10x^{2}+900x-28000=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -10, b luvulla 900 ja c luvulla -28000 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-900±\sqrt{900^{2}-4\left(-10\right)\left(-28000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Korota 900 neliöön.

$$x=\frac{-900±\sqrt{810000-4\left(-10\right)\left(-28000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Kerro -4 ja -10.

$$x=\frac{-900±\sqrt{810000+40\left(-28000\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Kerro 40 ja -28000.

$$x=\frac{-900±\sqrt{810000-1120000}}{2\left(-10\right)}$$

Lisää 810000 lukuun -1120000.

$$x=\frac{-900±\sqrt{-310000}}{2\left(-10\right)}$$

Ota luvun -310000 neliöjuuri.

$$x=\frac{-900±100\sqrt{31}i}{2\left(-10\right)}$$

Kerro 2 ja -10.

$$x=\frac{-900±100\sqrt{31}i}{-20}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-900±100\sqrt{31}i}{-20}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -900 lukuun 100i\sqrt{31}.

$$x=\frac{-900+100\sqrt{31}i}{-20}$$

Jaa -900+100i\sqrt{31} luvulla -20.

$$x=-5\sqrt{31}i+45$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-900±100\sqrt{31}i}{-20}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 100i\sqrt{31} luvusta -900.

$$x=\frac{-100\sqrt{31}i-900}{-20}$$

Jaa -900-100i\sqrt{31} luvulla -20.

$$x=45+5\sqrt{31}i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-5\sqrt{31}i+45 x=45+5\sqrt{31}i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen x-40 ja 500-10x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$900x-10x^{2}-20000=8000$$

Lisää 20000 molemmille puolille.

$$900x-10x^{2}=8000+20000$$

Selvitä 28000 laskemalla yhteen 8000 ja 20000.

$$900x-10x^{2}=28000$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-10x^{2}+900x=28000$$

Jaa molemmat puolet luvulla -10.

$$\frac{-10x^{2}+900x}{-10}=\frac{28000}{-10}$$

Jakaminen luvulla -10 kumoaa kertomisen luvulla -10.

$$x^{2}+\frac{900}{-10}x=\frac{28000}{-10}$$

Jaa 900 luvulla -10.

$$x^{2}-90x=\frac{28000}{-10}$$

Jaa 28000 luvulla -10.

$$x^{2}-90x=-2800$$

Jaa -90 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -45. Lisää sitten -45:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-90x+\left(-45\right)^{2}=-2800+\left(-45\right)^{2}$$

Korota -45 neliöön.

$$x^{2}-90x+2025=-2800+2025$$

Lisää -2800 lukuun 2025.

$$x^{2}-90x+2025=-775$$

Jaa x^{2}-90x+2025 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-45\right)^{2}=-775$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-45\right)^{2}}=\sqrt{-775}$$

Sievennä.

$$x-45=5\sqrt{31}i x-45=-5\sqrt{31}i$$

Lisää 45 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=45+5\sqrt{31}i x=-5\sqrt{31}i+45$$