Ratkaise (x-4)^2*(x+3)^3*(x-1)=0

$$( x - 4 ) ^ { 2 } \cdot ( x + 3 ) ^ { 3 } \cdot ( x - 1 ) = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-3$$

$$x=4$$

$$x=1$$

Ratkaisun vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(x-4\right)^{2} laajentamiseen.

$$\left(x^{2}-8x+16\right)\left(x+3\right)^{3}\left(x-1\right)=0$$

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} yhtälön \left(x+3\right)^{3} laajentamiseen.

$$\left(x^{2}-8x+16\right)\left(x^{3}+9x^{2}+27x+27\right)\left(x-1\right)=0$$

Laske lukujen x^{2}-8x+16 ja x^{3}+9x^{2}+27x+27 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$\left(x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432\right)\left(x-1\right)=0$$

Laske lukujen x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432 ja x-1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$x^{6}-30x^{4}-16x^{3}+261x^{2}+216x-432=0$$

Rationaaliluvulle lause, Kaikki polynomin rationaaliluvulle ovat muodossa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakio termin -432 ja q jakaa alku kertoimen 1. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±432,±216,±144,±108,±72,±54,±48,±36,±27,±24,±18,±16,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$x=1$$

Tekijä lause x-k on kunkin k pääsivuston polynomin kerroin. Jaa x^{6}-30x^{4}-16x^{3}+261x^{2}+216x-432 luvulla x-1, jolloin ratkaisuksi tulee x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432. Ratkaise yhtälö, kun sen tulos on yhtä suuri kuin 0.

$$x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432=0$$

Rationaaliluvulle lause, Kaikki polynomin rationaaliluvulle ovat muodossa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakio termin 432 ja q jakaa alku kertoimen 1. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±432,±216,±144,±108,±72,±54,±48,±36,±27,±24,±18,±16,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$x=-3$$

Tekijä lause x-k on kunkin k pääsivuston polynomin kerroin. Jaa x^{5}+x^{4}-29x^{3}-45x^{2}+216x+432 luvulla x+3, jolloin ratkaisuksi tulee x^{4}-2x^{3}-23x^{2}+24x+144. Ratkaise yhtälö, kun sen tulos on yhtä suuri kuin 0.

$$x^{4}-2x^{3}-23x^{2}+24x+144=0$$

Rationaaliluvulle lause, Kaikki polynomin rationaaliluvulle ovat muodossa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakio termin 144 ja q jakaa alku kertoimen 1. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±144,±72,±48,±36,±24,±18,±16,±12,±9,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$x=-3$$

Tekijä lause x-k on kunkin k pääsivuston polynomin kerroin. Jaa x^{4}-2x^{3}-23x^{2}+24x+144 luvulla x+3, jolloin ratkaisuksi tulee x^{3}-5x^{2}-8x+48. Ratkaise yhtälö, kun sen tulos on yhtä suuri kuin 0.

$$x^{3}-5x^{2}-8x+48=0$$

Rationaaliluvulle lause, Kaikki polynomin rationaaliluvulle ovat muodossa \frac{p}{q}, jossa p jakaa vakio termin 48 ja q jakaa alku kertoimen 1. Luettele kaikki ehdokkaat \frac{p}{q}.

$$±48,±24,±16,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Etsi yksi tällainen juuri kokeilemalla kaikkia kokonaislukuarvoja pienimmästä alkaen absoluuttisen arvon mukaan. Jos kokonaislukujuuria ei löydy, kokeile murtolukuja.

$$x=-3$$

Tekijä lause x-k on kunkin k pääsivuston polynomin kerroin. Jaa x^{3}-5x^{2}-8x+48 luvulla x+3, jolloin ratkaisuksi tulee x^{2}-8x+16. Ratkaise yhtälö, kun sen tulos on yhtä suuri kuin 0.

$$x^{2}-8x+16=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan -8 tilalle b ja muuttujan 16 tilalle c.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 1\times 16}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{8±0}{2}$$

Ratkaisut ovat samat.

$$x=4$$

Luetteloi kaikki löydetyt ratkaisut.

$$x=1 x=-3 x=4$$