Ratkaise (x-3)^2<2

$$( x - 3 ) ^ { 2 } < 2$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Ratkaisun vaiheet

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan -6 tilalle b ja muuttujan 7 tilalle c.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Jotta tulo on negatiivinen, arvoilla x-\left(\sqrt{2}+3\right) ja x-\left(3-\sqrt{2}\right) on oltava päinvastaiset etumerkit. Tarkastele tapausta, jossa x-\left(\sqrt{2}+3\right) on positiivinen ja x-\left(3-\sqrt{2}\right) on negatiivinen.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Tämä on epätosi kaikilla x:n arvoilla.

$$x\in \emptyset$$

Tarkastele tapausta, jossa x-\left(3-\sqrt{2}\right) on positiivinen ja x-\left(\sqrt{2}+3\right) on negatiivinen.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$