Ratkaise (x-2)^2geq7

$$( x - 2 ) ^ { 2 } \geq 7$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x\in (-\infty,2-\sqrt{7}]\cup [\sqrt{7}+2,\infty)$$

Ratkaisun vaiheet

Ratkaise epäyhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin. Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$\left(x-2\right)^{2}=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 1 tilalle a, muuttujan -4 tilalle b ja muuttujan -3 tilalle c.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2}$$

Ratkaise yhtälö x=\frac{4±2\sqrt{7}}{2} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$x=\sqrt{7}+2 x=2-\sqrt{7}$$

Kirjoita epäyhtälö uudelleen käyttämällä saatuja ratkaisuja.

$$\left(x-\left(\sqrt{7}+2\right)\right)\left(x-\left(2-\sqrt{7}\right)\right)\geq 0$$

Jotta tulo on ≥0, arvojen x-\left(\sqrt{7}+2\right) ja x-\left(2-\sqrt{7}\right) on molempien oltava ≤0 tai ≥0. Tarkastele tapausta, jossa x-\left(\sqrt{7}+2\right) ja x-\left(2-\sqrt{7}\right) ovat molemmat ≤0.

$$x-\left(\sqrt{7}+2\right)\leq 0 x-\left(2-\sqrt{7}\right)\leq 0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\leq 2-\sqrt{7}.

$$x\leq 2-\sqrt{7}$$

Tarkastele tapausta, jossa x-\left(\sqrt{7}+2\right) ja x-\left(2-\sqrt{7}\right) ovat molemmat ≥0.

$$x-\left(2-\sqrt{7}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{7}+2\right)\geq 0$$

Molemmat epäyhtälöt täyttävä ratkaisu on x\geq \sqrt{7}+2.

$$x\geq \sqrt{7}+2$$

Lopullinen ratkaisu on saatujen ratkaisujen yhdistelmä.

$$x\leq 2-\sqrt{7}\text{; }x\geq \sqrt{7}+2$$